Calcule, justificando, o limite da seguinte sequência:

x_n = raiz(raiz(n, n), n)

Passo 1

Vamos primeiro escrever isso de uma forma mais bacana:

x n = n 1 n 1 n = n 1 n 2

Humm, então o limite é:

lim n → ∞ ⁡ n 1 n 2

Passo 2

Então, aquela famosa propriedade de funções inversas, vamos usar isso pra exponencial e logaritmo neperiano:

f x = e ln ⁡ f x

Assim fica:

lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ n 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ n n 2

E a gente pode tirar o e de dentro do limite, fica assim, por conta de uma propriedade de limites

e l i m n → ∞ ln ⁡ n n 2

Passo 3

Então precisamos resolver o seguinte limite:

l i m n → ∞ ln ⁡ n n 2 = ?

Da pra ver a inderteminação de ∞ ∞ , logo, por L’Hospital:

l i m n → ∞ ln ⁡ n n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 / n 2 n =   l i m n → ∞ 1 2 n 2 = 0

Assim, voltando para o e lá do passo anterior:

lim n → ∞ ⁡ n 1 n 2 = e l i m n → ∞ ln ⁡ n n 2

lim n → ∞ ⁡ n 1 n 2 = e 0 = 1

Resposta

lim n → ∞ ⁡ n 1 n 2 = 1

Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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