Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

8. A função

f x = cos ⁡ x - 1 e x - 1 ,     s e   x < 0 1 ,     s e   x ≥ 0

É continua para todo x ∈ R ?

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada uma função definida por partes em que para x < 0 a função é dada por cos ⁡ x - 1 e x - 1 e para x ≥ 0 a função é constante e igual a 1 .

Com isso queremos saber se a função é continua para todo x ∈ R .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Se analisarmos a primeira parte da função, vamos ver que em x = 0 vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então para verificar se f é contínua, temos que calcular o limite dessa primeira parte e ver se ela tende a segunda parte de f quando x se aproxima de 0 .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Em outras palavras, o que temos que fazer é verificar se esse limite é satisfeito...

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = 1

Se sim, é porque a função f é contínua.

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l derivando o numerador e o denominador...

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = lim x → 0 ⁡ d cos ⁡ x - 1 d x d e x - 1 d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d cos ⁡ x - 1 d x = - sin ⁡ x

d e x - 1 d x = e x

Substituindo no limite

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x e x

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x e x = - sin ⁡ 0 e 0

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = 0

Portanto f não é contínua.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Não é contínua.

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