Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Seja

a n = n + 1 n + 3 - n

Determine o limite da sequência a n n ∈ N

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência com termo geral a n

a n = n + 1 n + 3 - n

E perguntou o limite dessa sequência

Isso significa que precisamos calcular o limite de a n quando n → ∞

Aí temos

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 3 - n = ∞ - ∞

Xiii! Deu uma indeterminação!

#ALERTATRUQUESUJO

Quando for assim, precisamos reescrever a função para a n . Quando você pensa em diferença entre frações, para reescrever, você as coloca no mesmo denominador, certo?

Agora quando você tem uma diferença entre raízes, você precisa pensar em multiplicar pelo conjugado!

Passo 2

Sendo assim, vamos multiplicar em cima e embaixo, pelo conjugado dela:

a n = n + 1 n + 3 - n × n + 1 n + 3 + n n + 1 n + 3 + n  

Lembrando do produto notável a - b a + b = a 2 - b 2 , reparando que no nosso caso:

a = n + 1 n + 3 = ( n + 1 ) ( n + 3 )

b = n

Ficamos assim

a n = ( n + 1 ) ( n + 3 ) 2 - n 2 ( n + 1 ) ( n + 3 ) + n = n 2 + n + 3 n + 3 - n 2 n 2 + 1 + n = 4 n + 3 n 2 + 4 n + 3 + n

Se aplicarmos o limite de n → ∞ agora, vamos encontrar ∞ / ∞ , que é ainda uma indeterminação, então ainda dá pra arrumar mais um pouquinho essa função.

Passo 3

Vou colocar o termo n em evidência, tanto no numerador quanto no denominador. Assim, vou poder cortar n em cima e embaixo e quando aplicarmos o limite para n → ∞ , os termos do tipo n º n   vão à zero.

Começando pelo numerador:

4 n + 3 = n 4 + 3 n

E agora o denominador:

n 2 + 4 n + 3 + n = n 2 1 + 4 n + 3 n 2 + n = n 1 + 4 n + 3 n 2 + 1

Lembrando que para tirar algo de dentro da raiz a gente precisa tirar com a potência igual ao índice!

Voltando para nossa função

4 n + 3 n 2 + 4 n + 3 + n = n 4 + 3 n n 1 + 4 n + 3 n 2 + 1 = 4 + 3 n 1 + 4 n + 3 n 2 + 1

Passo 4

E agora vamos aplicar novamente o limite

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 3 - n = lim n → ∞ ⁡ 4 + 3 n 1 + 4 n + 3 n 2 + 1

Quando n → ∞ , os termos

3 n , 4 n   e 3 n 2

Tendem à zero e podem ser desconsiderados do limite:

lim n → ∞ ⁡ 4 1 + 1 = 4 2 = 2

Prontinho! Retiramos a indeterminação e conseguimos calcular o limite!

Então se liga aí: se tiver uma diferença/soma ou apenas uma raiz, multiplica essa função em cima e embaixo pelo conjugado! Rearranja e parte para o abraço!

Até a próxima!

Resposta

2

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