UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 22
Seja
Determine o limite da sequência
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma sequência com termo geral
E perguntou o limite dessa sequência
Isso significa que precisamos calcular o limite de quando
Aí temos
Xiii! Deu uma indeterminação!
#ALERTATRUQUESUJO
Quando for assim, precisamos reescrever a função para . Quando você pensa em diferença entre frações, para reescrever, você as coloca no mesmo denominador, certo?
Agora quando você tem uma diferença entre raízes, você precisa pensar em multiplicar pelo conjugado!
Passo 2
Sendo assim, vamos multiplicar em cima e embaixo, pelo conjugado dela:
Lembrando do produto notável , reparando que no nosso caso:
Ficamos assim
Se aplicarmos o limite de agora, vamos encontrar , que é ainda uma indeterminação, então ainda dá pra arrumar mais um pouquinho essa função.
Passo 3
Vou colocar o termo em evidência, tanto no numerador quanto no denominador. Assim, vou poder cortar em cima e embaixo e quando aplicarmos o limite para , os termos do tipo vão à zero.
Começando pelo numerador:
E agora o denominador:
Lembrando que para tirar algo de dentro da raiz a gente precisa tirar com a potência igual ao índice!
Voltando para nossa função
Passo 4
E agora vamos aplicar novamente o limite
Quando , os termos
Tendem à zero e podem ser desconsiderados do limite:
Prontinho! Retiramos a indeterminação e conseguimos calcular o limite!
Então se liga aí: se tiver uma diferença/soma ou apenas uma raiz, multiplica essa função em cima e embaixo pelo conjugado! Rearranja e parte para o abraço!
Até a próxima!