UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 30d
Determine os limites a seguir:
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função quando o valor de se aproxima de pela direita, ou seja, se aproxima por valores maiores que .
Repare que a função não está definida para , porque o denominador da função seria zero (e isso não pode acontecer). Sendo assim, temos que fugir dessa indeterminação. Para isso, vamos manipular um pouquinho nossa função e verificar o resultado do nosso limite.
Vamos lá!
Passo 2
Temos:
Vamos começar colocando em evidência:
Então, como o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:
Repare no primeiro limite. Quando vai ficando cada vez menor, o resultado da nossa divisão vai ficando cada vez maior, então:
Passo 3
Agora vamos pensar no segundo limite:
Fazendo a divisão de frações e separando os limites novamente:
O limite da esquerda nós sabemos que é igual a , porque é o limite de uma constante. E como , temos:
A gente pode reescrever essa função como uma fração pra usar a regra de L’Hospital. Assim:
Derivando numerador e denominador separadamente, temos:
Agora podemos substituir :
Juntando os dois resultados que encontramos:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉