Estude a convergência da sequência quando . Se convergir calcule o limite e se divergir justifique:
Passo 1
Vamos estudar o comportamento da sequência com termo geral
quando . Isto é, queremos verificar se existe um .
Para isso, vamos usar um truque algébrico. Dá pra ver o expoente ali, ? Então, vamos aplicar dos dois lados para facilitar o cálculo.
Passo 2
Ok, até aí tudo bem. Mas aí você percebe que na fração dentro dos colchetes, quando , o numerador tende a infinito e o denominador também.
Isso é uma indeterminação, então para sair dela usamos L’Hospital: deriva em cima e deriva embaixo.
Logo:
Finalmente, encontramos , mostrando que a sequência converge para o limite .
Resposta
Converge: .