Sequências
Estude a convergência da sequência quando . Se convergir calcule o limite e se divergir justifique:
Passo 1
Vamos estudar o comportamento da sequência com termo geral
quando . Isto é, queremos verificar se existe um .
Para isso, vamos usar um truque algébrico. Dá pra ver o expoente ali, ? Então, vamos aplicar dos dois lados para facilitar o cálculo.
Passo 2
Ok, até aí tudo bem. Mas aí você percebe que na fração dentro dos colchetes, quando , o numerador tende a infinito e o denominador também.
Isso é uma indeterminação, então para sair dela usamos L’Hospital: deriva em cima e deriva embaixo.
Logo:
Finalmente, encontramos , mostrando que a sequência converge para o limite .
Resposta
Converge: .
Exercícios de Livros Relacionados
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.24- ∑ n = 1 ∞ - 1 n a r c t gn n
Demonstre que se l i m n → ∞a n = 0 e b n for limitada, então l i m n → ∞ a n b n = 0
Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: { a n } e { b n } convergem para L , então a sequência a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ⋅ ⋅
Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.
A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M M sempre que nN. Com