Se uma sequência a_n para n ∈ N satisfaz:

  1. a1 ≤ a2
  2. a_n+1 = (a_n + a_n-1) / 2 para todo n >= 2

Então a sequência a_n, n ∈ N converge?

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu duas informações sobre uma sequência

  1. a 1 ≤ a 2
  2. a n + 1 = a n + a n - 1 2 para todo n ≥ 2

E nos perguntou se essa sequência converge.

Uma sequência é convergente quando o limite existe e vale um número. E ela é divergente quando esse limite não existe ou estoura para o infinito.

Mas não temos a cara dessa sequência para poder avaliar ela no infinito! E agora?

Calma! Uma sequência também é convergente quando a n + 1 a n > 1

Então a ideia aqui é avaliar essa razão, usando as informações que o exercício deu, para verificar se essa sequência converge ou não.

Beleza?

Vamos fazer juntos?

Passo 2

O problema nos disse que

a n + 1 = a n + a n - 1 2

Então vou dividir dos dois lados por a n :

a n + 1 a n = 1 2 a n a n + a n - 1 a n

a n + 1 a n = 1 2 1 + a n - 1 a n

Isso é válido para n ≥ 2 , e o problema também nos disse que a 2 ≥ a 1 , sendo assim, precisamos avaliar se

1 2 1 + a n - 1 a n < 1

Passo 3

Então, vamos

1 + a n - 1 a n < 2

Como a 2 ≥ a 1 , então sempre vamos ter que a n - 1 a n < 1 , então essa desigualdade sempre será satisfeita!

Sendo assim, podemos dizer que a sequência é sim convergente e a afirmativa está verdadeira.

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

V e r d a d e i r a

Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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