Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Suponha que a n n ∈ N e b n n ∈ N sejam duas sequências tais que

  • b n > 0 , para todo n ∈ N .
  • lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Então qual é o valor de lim n → ∞ ⁡ a n   s e n 1 b n ?

Escolha uma opção:

  1. 0
  2. N ã o   e x i s t e
  3. 2
  4. 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema deu duas sequências:

a n n ∈ N   ;     b n n ∈ N

E mais algumas informações:

- b n > 0 , para todo n ∈ N : isto é, todos os números que compõe a sequência de b n são positivos

- lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , ou seja, no infinito, a sequência a n assume um valor constante de 0 .

E nos pediu para calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ ( a n )   s e n 1 b n

Então a ideia para resolver esse limite é: aplicar as regrinhas de limites para funções – essas mesmo que você já conhece lá do cálculo 1 – porque elas funcionam para sequências também e usar as informações (principalmente sobre o limite do a n , vai ser beeeem útil!) dadas e analisar para onde tende essa coisa

Belezinha?

Passo 2

Como você viu lá em cálculo: o limite do produto é o produto os limites, e isso se aplica aqui também

O nosso limite é

lim n → ∞ ⁡ ( a n )   s e n 1 b n

Separando no produto de dois limites:

lim n → ∞ ⁡ ( a n ) .   lim n → ∞ ⁡   s e n 1 b n

Podemos analisar cada um dos limites para depois juntar os resultados

Passo 3

Analisando o limite envolvendo a n

lim n → ∞ ⁡ ( a n )

Lembra daquelas informações adicionais que o problema nos deu? Então, agora que vou usar!

A informação correspondente ao a n é:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Sendo assim, no infinito, a sequência a n tende ao número 0. E é esse resultado que precisamos para resolver o limite ali em cima:

lim n → ∞ ⁡ ( a n )

Mas lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , então

lim n → ∞ ⁡ ( a n ) = 0

Pronto! Temos nosso primeiro resultado!

0 . ou 0 / 0 e se isso acontecer precisaremos manipular nossa função para sair dessa situação.

Mas calma, se isso acontecer, vamos resolver juntos passo a passo!

Passo 4

Agora o outro limite, a parte envolvendo o b n

lim n → ∞ ⁡   s e n 1 b n

A informação adicional que é associada ao b n nos diz que

b n > 0 , para todo n ∈ N

Isso significa que o argumento dentro do seno é positivo. Não sabemos se o argumento é maior do que 1 ou menor, mas sabemos que ele é positivo.

Mas independente da magnitude do argumento, a função seno tem uma característica bem interessante: o valor que ele assume está SEMPRE entre -1 e 1!

Isso mesmo! Esse limite está sempre entre - 1   e 1 , e se caso b n ficar muito grande no infinito, tipo lim n → ∞ ⁡ b n = ∞ e por consequência o argumento do seno ir à zero 1 b n → 0 , o máximo que pode acontecer é esse seno ir à zero.

Então tanto faz se o argumento no infinito assume valores grandes ou tende à zero, o seno sempre retorna valores entre -1 e 1.

Vamos juntar os resultados dos passos 3 e 4 no nosso limite original

Passo 5

A gente tinha

lim n → ∞ ⁡ ( a n )   s e n 1 b n

E separamos no produto de dois limites

lim n → ∞ ⁡ ( a n ) .   lim n → ∞ ⁡   s e n 1 b n

Calculamos separadamente cada um dos termos:

lim n → ∞ ⁡ ( a n ) .   lim n → ∞ ⁡   s e n 1 b n = 0 . n º   e n t r e ± 1 = 0

Como o limite do seno dá sempre algo entre -1 e 1, não temos aquela indeterminação que falei para você antes, temos o produto de dois números, sendo que um deles é o 0

Então esse limite vai a zero!

E alternativa que nos diz isso é a (a)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( a )

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