UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 16
Determine
Passo 1
Oi galera, tudo tranquilo? Essa questão parece ser cabeluda, mas vou resolver junto com você! Vem comigo!
O problema pediu para calcularmos esse limite aqui
Estamos falando do limite de uma sequência. Uma sequência é uma função com domínio no conjunto dos , ou seja, só pode assumir valores inteiros e positivos.
Mas calma, calcular o limite nesses casos é tranquilo! É igual aos limites que você costumava calcular lá com no cálculo 1. Valem as mesmas regras, as mesmas técnicas de resolução, tudinho igual.
Passo 2
Quando temos esse limite fica assim:
Poxa vida, caímos em uma indeterminação do tipo exponencial!
Não sabemos se o expoente vai à zero antes do que a base, mas calma! A ideia para resolver esse tipo de limite é essa:
- Pegar a expressão do termo geral dessa sequência, é esse o comportamento que estamos procurando:
- Depois aplicar a exponencial do logaritmo dessa expressão. Isso porque
- Feito isso, podemos calcular . E aqui que vem nosso maior truque sujo! Vamos passar o limite lá para dentro do expoente do ! Assim:
E nosso problema fica calcular o limite daquele da expressão em ! Com o resultado do limite na mão, substituímos ele de volta no expoente do e aí é correr para o abraço!
Mas fica tranquilo que vou fazer passo a passo junto com você! Vamos lá?
Passo 3
Vamos pegar a expressão do termo geral e chamar de :
Agora vem o truque sujo (parte 1): fazer a exponencial do logaritmo dessa expressão:
E agora queremos saber o limite dessa expressão quando :
Aqui vem a parte 2 desse truque sujo: passar o limite para o expoente!
Nosso próximo passo é calcular esse limite!
Passo 4
Pegando só o expoente a gente tem
Como ainda temos a indeterminação dentro do logaritmo , precisamos manipular mais um pouco essa expressão. Vou inverter a fração e ficar com :
E agora passar o multiplicando o :
Beleza?
Passo 5
Avaliando esse limite temos que tanto quanto vão à infinito quando . Então temos uma nova indeterminação:
Lembrando lá do cálculo 1 nós resolvemos limites assim aplicando a regra de L´Hopital! É só derivar em cima e derivar embaixo e avaliar o limite novamente. Tranquilo?
Belezinha? Nosso limite vai a zero!
Agora precisamos voltar para nossa exponencial!
Passo 6
Lá do finalzinho do passo a gente tinha o seguinte
E descobrimos que
Aí é só substituir esse valor ali no expoente de :
Oba! Chegamos a um resultado final! Nosso termo geral tende a 1 quando
Beleza?
Espero ter ajudado!
Até a próxima!