Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Determine se a sequência a n n ∈ N converge, e em caso afirmativo, calcule o limite:

  a n = - 1 n n + 2 ln ⁡ n n n + 1

Passo 1

Para uma sequência convergir, sabemos que:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

Onde L é um número real, então é isso que precisamos verificar.

Passo 2

Vamos separar a cara desse a n , porque ela tem uma cara complicada, parece ser mais fácil trabalhar com dois termos, e evidentemente, se essas duas sequências convergirem, então a n também converge:

a n = - 1 n n n n + 1 + 2 ln ⁡ n n n + 1

Vamos chamar de:

b n = - 1 n n n n + 1

E:

c n = 2 ln ⁡ n n n + 1

Passo 3

Então:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n n n n + 1 = lim n → ∞ ⁡ - 1 n n + 1 n

Como sabemos que - 1 ≤ - 1 n ≤ 1

E que n → ∞

E que 1 n → 0

Então:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n n + 1 n = 0

Passo 4

lim n → ∞ ⁡ c n = lim n → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ n n n + 1

Vemos que essa é uma inderteminação do tipo ∞ ∞ , logo, aplicando L ' H o s p i t a l :

lim n → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ n n n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 n 3 2 n 1 2 = lim n → ∞ ⁡ 4 3 n 3 2 = 0

Passo 5

Assim, vemos que a sequência converge e tem seu valor dado por:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ b n + lim n → ∞ ⁡ c n = 0

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

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