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Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

UFJF – Equações Diferenciais I – Lista 9 – Questão 1a

Verifique se cada uma das sequências, cujo termo geral é dado abaixo, converge

ou diverge. No caso em que a sequência convergir, calcule seu limite.

a )   a n = e n + n 2 / n

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? O problema deu esse termo geral:

a n = e n + n 2 n

E pediu para verificar se ele é divergente ou não. E se a sequência for convergente, precisamos encontrar o valor do seu limite!

Mas como descobrir isso? Pelo limite! Isso mesmo: se o limite do termo geral de uma sequência ( q u a n d o   n → ∞ ) converge, isto é, se o limite existe e é um valor finito, isso significa que essa sequência é convergente! Se o limite for infinito, então dizemos que essa sequência diverge!

E mais uma coisinha: esse valor do limite que você encontrou é o valor que o problema quer saber! (no caso de a sequência ser convergente, claro)

Relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nosso limite é

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ e n + n 2 n = ∞ 0

Nosso primeiro instinto é substituir n por ∞ , não é mesmo? Mas fazendo isso encontramos uma indeterminação do tipo

∞ 0

E agora? Como proceder? #ALERTATRUQUESUJO

Sempre que você se deparar com uma indeterminação desse tipo você vai fazer o seguinte:

  • Aplicar o logaritmo natural e em seguida a exponencial do termo geral:

    • a n → e ln ⁡ a n

  • E passar o limite quando n → ∞ para dentro da exponencial!

    • lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ a n = e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ a n

    Aí você se pergunta: por que raios vou fazer isso??? Porque assim aquele expoente com 2 / n pode passar multiplicando o logaritmo, e vamos conseguir calcular com mais facilidade o limite!

  • Depois de calcular o limite, vamos substituir o valor no expoente de e e esse será nosso resultado!

Beleza?

Passo 3

Agora vamos seguir os passos do truque sujo!

lim n → ∞ ⁡ e n + n 2 n = lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ e n + n 2 n = e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ e n + n 2 n

Tranquilo? Agora vamos calcular separadamente o limite:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ e n + n 2 n

Aquele expoente 2 / n pode passar multiplicando o logaritmo

lim n → ∞ ⁡ 2 n . ln ⁡ e n + n = ∞ ∞

Encontramos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ : regra de L’hopital! Deriva em cima, deriva embaixo, e avalia novamente o limite:

lim n → ∞ ⁡ 2 e n + n . ( e n + 1 ) 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 ( e n + 1 ) e n + n = ∞ ∞ ⏝ L ' H

Aplicando a regra novamente:

lim n → ∞ ⁡ 2 e n e n + 1 = ⏝ L ' H lim n → ∞ ⁡ 2 e n e n = 2

Oba! Encontramos um resultado! Agora precisamos voltar para nosso truque sujo lá do passo 2 !

Passo 4

Do passo 2

lim n → ∞ ⁡ e n + n 2 n = e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ e n + n 2 n

Mas calculamos o limite:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ e n + n 2 n = 2

Então temos que o limite da sequência é

lim n → ∞ ⁡ e n + n 2 n = e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ e n + n 2 n = e 2

E é constante! Isso significa que essa sequência é convergente e seu limite vale e 2

Tudo certo até aqui?

Vamos treinar mais?

Resposta

c o n v e r g e n t e ,   e 2

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