USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 3
Sejam e sequências de reais e considere as seguintes afirmações:
(I) Se e são ambas divergentes então diverge.
(II) Se é convergente, então é limitada.
(III) Se é crescente e diverge então .
(IV) Se então pode divergir.
São verdadeiras as afirmações:
a) (II) e (III).
b) (I) e (III).
c) (II) e (IV).
d) (I) e (II).
e) (III) e (IV).
Passo 1
Partiu fazer mais uma questão? Bora!!!
Esse é um exercício sobre sequências. Temos duas sequências reais e e temos que considerar algumas afirmativas.
A afirmativa (I) diz que se e forem ambas divergentes, então a soma será divergente.
Eu sei que você deve pensar que a soma de duas coisas que divergem também diverge, mas não é bem assim...
Por exemplo, considere as sequências
As duas sequências são divergentes, pois
Mas a soma é
Note que a soma converge:
Com isso, vemos que a afirmativa (I) não é necessariamente verdadeira! Já eliminamos as alternativas B e D.
Passo 2
A afirmativa (II) diz que se converge, então é limitada. Essa afirmativa é verdadeira! Pense assim, se a sequência converge, então quando , real.
Se a sequência não explode quando , então ela não explode nunca. Sendo assim, ela é limitada!
Agora, as possíveis respostas estão nas alternativas A ou C.
Passo 3
Vamos olhar para a afirmativa (IV) antes da (III). Ela diz que se então pode divergir. Essa afirmativa é completamente falsa!
Se , então
Portanto,
Para verificar que esse limite é zero usamos o teorema do confronto: o limite doo produto de uma função que tende a zero por uma limitada é sempre nulo!
Assim, a sequência converge! Como essa afirmativa é falsa, já sabemos que a alternativa correta é a alternativa A 😊
Passo 4
Por eliminação já temos nossa alternativa, mas de qualquer forma, vamos justificar porque a afirmativa (III) é verdadeira! Ela diz que se é crescente e diverge então .
Isso é fácil de enxergar: como a sequência é crescente, ela vai sempre aumentando. Se uma sequência diverge ela pode tender para . Mas se ela é crescente, ela não pode ir para . Com isso, a única saída é
Confirmamos então que as afirmativas corretas são (II) e (III)!
Resposta
Alternativa A.