UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 39
Suponha que e sejam duas sequências tais que
- , para todo .
Então qual é o valor de ?
Escolha uma alternativa:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema deu duas sequências:
E mais algumas informações:
- , para todo : isto é, a soma dos quadrados das sequências está entre e , é o nosso famoso número com vírgula do tipo alguma coisa
- , ou seja, no infinito, a sequência assume um valor constante de .
E nos pediu para calcular o seguinte limite:
Então a ideia para resolver esse limite é: aplicar as regrinhas de limites para funções – essas mesmo que você já conhece lá do cálculo 1 – porque elas funcionam para sequências também e usar as informações (principalmente sobre o limite do , vai ser beeeem útil!) dadas e analisar para onde tende essa coisa
Belezinha?
Passo 2
Como você viu lá em cálculo: o limite do produto é o produto os limites, e isso se aplica aqui também
O nosso limite é
Separando no produto de dois limites:
Podemos analisar cada um dos limites para depois juntar os resultados
Passo 3
Analisando o limite envolvendo
Lembra daquelas informações adicionais que o problema nos deu? Então, agora que vou usar!
A informação correspondente ao é:
Sendo assim, no infinito, a sequência tende ao número 0. E é esse resultado que precisamos para resolver o limite ali em cima:
Mas , então
Pronto! Temos nosso primeiro resultado!
Mas calma, se isso acontecer, vamos resolver juntos passo a passo!
Passo 4
Agora o outro limite, a parte envolvendo o
A informação adicional que é associada ao nos diz que
, para todo
ALERTA TRUQUE SUJO
#truquesujo
Vou aplicar o limite para na informação adicional! Isso porque ela é limitada entre e a , e envolve o nosso , então o resultado desse limite vai estar limitado, então vamos poder associar esse resultado ao limite de e usar ele no nosso limite original
A informação era
Aplicando o limite para nas três partes temos:
Nas pontas não temos nada que dependa de , então os resultados são os próprios valores e (na esquerda e direita respectivamente):
Obs.: A ideia é manipular essa desigualdade até obtermos um valor para
E agora mais uma lembrança de cálculo 1: o limite da soma é a soma dos limites, então nesse meio vou aplicar isso:
Mas pera aí! No passo anterior usamos a afirmação adicional que
Então:
E esse resultado pode ser substituído ali no meio da nossa desigualdade
Podemos adicionar em todos os lados (pontas e meio) dessa desigualdade:
Essa afirmação nos indica que o valor ao quadrado do limite de quando está limitado entre os valores de (sabemos que não pode ser negativo, mas esse resultado é importante para confirmarmos que esse limite é limitado inferiormente) e – portanto também é limitado.
O limite inferior é , pois não temos raiz de número negativo e o limite superior é .
Assim, o limite de é limitado entre e , o que é um resultado bem ok! Não encontramos uma indeterminação, um por exemplo. O limite de é portanto um número entre e .
Vamos juntar os resultados dos passos 3 e 4 no nosso limite original
Passo 5
A gente tinha
E separamos no produto de dois limites
Calculamos separadamente cada um dos termos:
Como o limite do seno dá sempre algo entre, não temos aquela indeterminação que falei para você antes, temos o produto de dois números, sendo que um deles é o 0
Então esse limite vai a zero!
E alternativa que nos diz isso é a (a)
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!