Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Suponha que a n n ∈ N e b n n ∈ N sejam duas sequências tais que

  • 0 ≤ a n 2 + b n 2 ≤ 1 , para todo n ∈ N .
  • lim n → ∞ ⁡ a n = 2

Então qual é o valor de lim n → ∞ ⁡ a n - 2 b n ?

Escolha uma alternativa:

  1. 0
  2. 2
  3. 1
  4. n ã o   e x i s t e

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema deu duas sequências:

a n n ∈ N   ;     b n n ∈ N

E mais algumas informações:

- 0 ≤ a n 2 + b n 2 ≤ 1 , para todo n ∈ N : isto é, a soma dos quadrados das sequências está entre 0 e 1 , é o nosso famoso número com vírgula do tipo 0 , alguma coisa

- lim n → ∞ ⁡ a n = 2 , ou seja, no infinito, a sequência a n assume um valor constante de 2 .

E nos pediu para calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n - 2 b n

Então a ideia para resolver esse limite é: aplicar as regrinhas de limites para funções – essas mesmo que você já conhece lá do cálculo 1 – porque elas funcionam para sequências também e usar as informações (principalmente sobre o limite do a n , vai ser beeeem útil!) dadas e analisar para onde tende essa coisa

Belezinha?

Passo 2

Como você viu lá em cálculo: o limite do produto é o produto os limites, e isso se aplica aqui também

O nosso limite é

lim n → ∞ ⁡ a n - 2 b n

Separando no produto de dois limites:

lim n → ∞ ⁡ ( a n - 2 ) .   lim n → ∞ ⁡   b n

Podemos analisar cada um dos limites para depois juntar os resultados

Passo 3

Analisando o limite envolvendo a n

lim n → ∞ ⁡ ( a n - 2 )

Lembra daquelas informações adicionais que o problema nos deu? Então, agora que vou usar!

A informação correspondente ao a n é:

lim n → ∞ ⁡ a n = 2

Sendo assim, no infinito, a sequência a n tende ao número 0. E é esse resultado que precisamos para resolver o limite ali em cima:

lim n → ∞ ⁡ ( a n )

Mas lim n → ∞ ⁡ a n = 2 , então

lim n → ∞ ⁡ ( a n - 2 ) = 2 - 2 = 0

Pronto! Temos nosso primeiro resultado!

0 . ou 0 / 0 e se isso acontecer precisaremos manipular nossa função para sair dessa situação.

Mas calma, se isso acontecer, vamos resolver juntos passo a passo!

Passo 4

Agora o outro limite, a parte envolvendo o b n

lim n → ∞ ⁡   b n

A informação adicional que é associada ao b n nos diz que

0 ≤ a n 2 + b n 2 ≤ 1 , para todo n ∈ N

ALERTA TRUQUE SUJO

#truquesujo

Vou aplicar o limite para n → ∞ na informação adicional! Isso porque ela é limitada entre 0 e a 1 , e envolve o nosso b n , então o resultado desse limite vai estar limitado, então vamos poder associar esse resultado ao limite de b n e usar ele no nosso limite original

A informação era

0 ≤ a n 2 + b n 2 ≤ 1

Aplicando o limite para n → ∞ nas três partes temos:

lim n → ∞ ⁡   0 ≤ lim n → ∞ ⁡   ( a n 2 + b n 2 ) ≤ lim n → ∞ ⁡   1

Nas pontas não temos nada que dependa de n , então os resultados são os próprios valores 0 e 1 (na esquerda e direita respectivamente):

0 ≤ lim n → ∞ ⁡   ( a n 2 + b n 2 ) ≤ 1

Obs.: A ideia é manipular essa desigualdade até obtermos um valor para lim n → ∞ ⁡   b n

E agora mais uma lembrança de cálculo 1: o limite da soma é a soma dos limites, então nesse meio vou aplicar isso:

0 ≤ lim n → ∞ ⁡   a n 2 + lim n → ∞ ⁡   ( b n 2 ) ≤ 1

Mas pera aí! No passo anterior usamos a afirmação adicional que

lim n → ∞ ⁡ a n = 2

Então:

lim n → ∞ ⁡   a n 2 = lim n → ∞ ⁡ a n 2 = 2 2 = 4

E esse resultado pode ser substituído ali no meio da nossa desigualdade

0 ≤ 4 + lim n → ∞ ⁡   ( b n 2 ) ≤ 1

Podemos adicionar - 4 em todos os lados (pontas e meio) dessa desigualdade:

- 4 ≤ lim n → ∞ ⁡   ( b n 2 ) ≤ 5

- 4 ≤ lim n → ∞ ⁡   b n 2 ≤ 5

Essa afirmação nos indica que o valor ao quadrado do limite de b n quando n → ∞ está limitado entre os valores de - 4 (sabemos que não pode ser negativo, mas esse resultado é importante para confirmarmos que esse limite é limitado inferiormente) e 5 – portanto lim n → ∞ ⁡   b n também é limitado.

O limite inferior é 0 , pois não temos raiz de número negativo e o limite superior é 5 .

Assim, o limite de b n é limitado entre 0 e 5 , o que é um resultado bem ok! Não encontramos uma indeterminação, um por exemplo. O limite de b n é portanto um número entre 0 e 5 .

Vamos juntar os resultados dos passos 3 e 4 no nosso limite original

Passo 5

A gente tinha

lim n → ∞ ⁡ a n - 2 b n

E separamos no produto de dois limites

lim n → ∞ ⁡ ( a n - 2 ) .   lim n → ∞ ⁡   b n

Calculamos separadamente cada um dos termos:

lim n → ∞ ⁡ ( a n - 2 ) .   lim n → ∞ ⁡   b n = 0 . n º   e n t r e   0   e   5 = 0

Como o limite do seno dá sempre algo entre   0   e   5 , não temos aquela indeterminação que falei para você antes, temos o produto de dois números, sendo que um deles é o 0

Então esse limite vai a zero!

E alternativa que nos diz isso é a (a)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( a )

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