UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 36a
Calcule cada um dos seguintes limites usando a forma apropriada da Regra de L’Hôspital. (Deve exibir as formas indeterminadas)
Passo 1
Fala aí galera, tudo na paz com vocês?
Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite:
E, para isso o enunciado nos manda exibir as formas indeterminadas e aplicar a regra de L’hôspital.
Beleza?
Bom, como sempre, a etapa inicial no cálculo de limites é substituir o valor que está tendendo. Aqui, temos , então vamos analisar. Se a um número muuuito grande, então o termo:
Porém, o termo:
Assim, temos um número que tende ao infinito, elevado a um expoente que tende a zero. Não conseguimos determinar isso!
Mas, da forma que está exposta essa indeterminação ainda não conseguimos aplicar a regra de L’hôspital.
Então, nossa primeira missão vai ser manipular essa expressão pra chegar na forma indeterminada padrão e depois usamos a regrinha de L’hôspital.
Segundo ela, se nós temos uma indeterminação do tipo , essa regra nos diz que:
Tranquilo?
Vamo nessa!
Passo 2
Temos o limite:
Um truque muito bom de usar em situações como essa é que:
Assim, teremos:
Pela propriedade dos logaritmos, temos:
Daí, voltando para o limite vamos ter que:
Daí, podemos colocar o limite no próprio expoente:
Ou seja galera, conseguimos sair daquele limite feião, e chegar em:
E isso é muito bonito, porque quando substituímos pelo valor que está tendendo chegamos em algo do tipo:
Que é uma forma indeterminada padrão para aplicação da regra de L’hôspital.
Perfeito! Agora sim poderemos aplicar L’hôspital 😊
Passo 3
Queremos aplicar L’hôspital em:
Então, precisamos calcular as derivadas do numerador e denominador:
Já no denominador, vamos ter:
Assim:
Se fizermos tender a infinito ainda teremos uma indeterminação do tipo:
Então, vamos aplicar L’hôspital mais uma vez:
Derivando vamos ter:
E:
Então:
Puts, ainda temos uma indeterminação do tipo . Mas não tem problema, vamos apicar L’hôspital mais uma vez (uma hora dá certo, tem que confiar!).
Como:
E:
Temos:
Aeee! Conseguimos matar o limite! Então essa é a nossa resposta? Nãaao. Vamos voltar um pouco atrás! Tínhamos chegado que:
Portanto:
Agora simmm! E aí, curtiram? Responde Aí!