Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Se b n = 1 + 1 2 3 + … + 1 n 3 n , então a sequência b n n ∈ N converge a:

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar? O enunciado nos deu uma sequência b n

b n = 1 + 1 2 3 + … + 1 n 3 n

E perguntou para onde ela converge.

Bom, primeiro vamos entender o que significa uma sequência convergir ou não. Uma sequência é como se fosse uma fileira de números b n , cada um com sua posição n .

Esses números estão relacionados por meio da equação do termo geral. Essa equação foi dada e é aquele b n . Os elementos dessa sequência são determinados substituindo o número n correspondente (1,2,3... apenas números inteiros positivos) na equação do termo geral.

Determinar se uma sequência converge ou não é analisar o limite dessa função quando n é gigantesco, ou melhor, quando n → ∞

E aqui valem as mesmas regras para limites que você viu lá no cálculo

Dizemos que a sequência converge quando o resultado desse limite for um número. Se der quer dizer que essa sequência diverge.

Beleza?

Passo 2

Então aqui a ideia é a seguinte: pegar esse termo geral e calcular o limite dele quando n → ∞ e verificar se esse limite é finito, se for ela converge, se não ela diverge.

Como o problema perguntou para qual valor a sequência converge, é bem possível que essa sequência seja convergente e queremos descobrir qual é o valor do limite mesmo.

Passo 3

Calculando o limite de b n :

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 2 3 + … + 1 n 3 n

Em cima temos que 1 / n 3 vai a 0 , enquanto que embaixo só cresce à medida que n aumenta. Então esse limite fica:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 2 3 + … + 1 n 3 n = 0 ∞ = 0

Como esse limite é finito, dizemos que essa sequência converge. E mais! Converge para 0 .

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

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