Determine se a sequência converge, e em caso afirmativo, calcule o limite:
Passo 1
Beleza, pra uma sequência convergir, temos que:
Onde é um número real, então é isso que precisamos verificar.
Passo 2
Então fica assim:
Então aqui vai um paranauê, nós sabemos que logaritmo neperiano e exponencial são funções inversas uma da outra, então essa propriedade é válida:
“Pra que isso serve?” Vamos mostrar agora! Faça isso para :
“ E isso facilitou?!” Sim sim, olha essa propriedade do logaritmo:
Vamos usar isso agora:
Galerinha, a gente pode tirar o de dentro do limite, fica assim, por conta de uma propriedade de limites
Colocamos dessa forma porque agora virou uma indeterminação, , dessa forma podemos aplicar o famoso L’Hospital!
Passo 3
Vamos só resolver o limite, mas não esqueça da exponencial! Deriva ae galera, lembrando que no numerador vão ter duas regras da cadeia. Uma para com o e outra para derivar o :
Então ficou fácil galera!
Então fica, voltando para o lá do passo anterior:
Logo o limite existe! E é