UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 9 – Questão 23
Para qualquer valor de , a sequência definida por converge?
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma sequência definida por
Dizendo que é sempre positivo.
E perguntou se essa sequência converge ou não.
Bom, dizer que uma sequência converge (ou não) é analisar o comportamento dela quando
Então precisamos descobrir o limite desse quando
Uma sequência converge quando o limite existe e vale algum número. E ela diverge quando o limite não existe ou vai para , beleza?
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Vamos lá?
Passo 2
Precisamos então calcular o limite de
Sabemos apenas que , precisamos testar esse limite para e . Vamos começar com
Supondo , poderia ser qualquer número, escolhi o 2 por simplicidade mesmo
Vamos calcular esse limite
Como o limite de um produto é o produto dos limites, temos:
Poxa vida, quando essa sequência estoura para infinito!
Então até aqui essa sequência é divergente.
Vamos ver como ela se comporta para ?
Passo 3
Supondo , o limite fica
Aqui encontramos uma indeterminação, precisamos aplicar a regra de L’Hopital para sair desse enrosco!
A regra de L’Hopital consiste em, quando temos uma indeterminação ou , derivamos a função do numerador e do denominador para levantar essa indeterminação, e avaliamos novamente o limite.
Vamos derivar?
Nosso limite deu um número diferente de zero! Logo, para a sequência é convergente!
Obs.: atenção aqui para a derivada de exponencial:
Passo 4
Voltando ao exercício, ele nos afirmou que, para a sequência definida por ,com positivo, essa sequência converge.
Vimos que se ela converge e se ela diverge.
Como não temos uma restrição para o valor de , apenas no sinal, então a afirmação de que essa sequência converge é falsa.
Até a próxima!