Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Quais das seguintes sequências são convergentes (justifique a resposta):

a) - 3 n n !

b) 2 1 + 3 n n

Passo 1

a) Cara, ver se uma sequência é convergente é entender se quando n → ∞ , esse termo geral dela vai tender a um valor (no caso, ele é convergente), ou vai explodir para infinito ou ficar variando eternamente. (aí, nesses casos, ela divergente)

Vamos avaliar a nossa:

- 3 n n !

Não dá para gente colocar ela na forma de limite e fazer n → ∞ , porque para isso a gente precisa colocar essa sequência na forma de função contínua, e isso não é possível por causa daquele fatorial ali.

O que a gente faz então? Vamos ter que refletir e imaginar, com o coração. Podemos começar reescrevendo esse cara:

- 1 n 3 n n !

Faz sentido, né? Agora pensa comigo. Se a gente tem esse termo - 1 n que vai alternando entre 1 e - 1 , se n → ∞ , nossa sequência vai ficar oscilando eternamente entre um valor positivo e um valor negativo.

Mas se o termo que está em produto com ele, esse aqui:

3 n n !

tender a zero, não importa se o outro termo ficar variando entre - 1 ou 1 , porque qualquer número em produto com zero dá zero. Então, a única forma de essa sequência ser convergente é se esse termo zerar quando n → ∞ . Vamos ver se isso acontece!

Passo 2

Olha para ele:

3 n n !

Vamos entender como ele funciona. Repara o que acontece para n = 3,4   e 5 :

n = 3 ∴ 3 3 3 ! = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 3 1 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3

n = 4 ∴ 3 4 4 ! = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 3 1 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3 ⋅ 3 4

n = 5 ∴ 3 5 5 ! = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 3 1 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3 ⋅ 3 4 ⋅ 3 5

Percebe um padrão? Se n → ∞ , a gente pode escrever:

n → ∞ ∴ 3 n n ! = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ n = 3 1 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3 ⋅ 3 4 ⋅ 3 5 ⋅ 3 6 ⋅ … ⋅ 3 n

A partir do termo 3 4 , só vamos ter termos menores que 1 nessa sequência, um menor do que o anterior. Eles levam esse valor para baixo. Vamos escrever:

n → ∞ ∴ 3 n n ! = 3 1 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3 3 4 ⋅ 3 5 ⋅ 3 6 ⋅ … ⋅ 3 n = 9 2 ⋅ v a l o r e s < 1

Passo 3

Vem comigo agora. Concorda que:

9 2   3 4 ⋅ 3 5 ≤ 9 2 3 4 ⋅ 3 4

Porque o termo entre parênteses do lado esquerdo é menor que 1 e menor que 3 4 2 , certo? E se a gente for colocando os termos seguintes

9 2   3 4 ⋅ 3 5 ⋅ 3 6 ≤ 9 2 3 4 ⋅ 3 4 ⋅ 3 4

9 2   3 4 ⋅ 3 5 ⋅ 3 6 ⋅ 3 7 ≤ 9 2 3 4 ⋅ 3 4 ⋅ 3 4 ⋅ 3 4

Agora repara que a gente pode limitar nosso cara, desse jeitinho:

3 n n ! = 9 2   3 4 ⋅ 3 5 ⋅ 3 6 ⋅ … ⋅ 3 n ≤ 9 2 3 4 n - 3

Mas por que aquele n - 3 ali? Cara, é porque esse termo 9 / 2 , já era:

3 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3

A gente já andou 3 casinhas no n , por isso que ali na esquerda só pode ter mais n - 3 termos.

Passo 4

Esse rolê todo a gente fez, porque agora dá para usar nosso amigo, o teorema do Confronto. Repara:

3 n n ! ≤ 9 2 3 4 n - 3

E a gente repara também que nosso termo geral é sempre a n ≥ 0 . Aí podemos escrever:

0 ≤ 3 n n ! ≤ 9 2 3 4 n - 3

lim n → ∞ ⁡ 0 ≤ lim n → ∞ ⁡ 3 n n ! ≤ lim n → ∞ ⁡ 9 2 3 4 n - 3

Sendo que n são só números inteiros. Repara que no limite da direita, esse expoente tende ao infinito, mas a base dele é um número menor que 1 . Quando mais alto um expoente de um número positivo e menor que 1 , mais próximo de zero ele fica.

Tipo

0,5 1 = 0,5 ∴ 0,5 2 = 0,25 ∴ 0,5 3 = 0,125

Percebe que 0,5 < 1 e quanto mais a gente aumenta o expoente dele, mais ele tende a zero. Agora olha para o nosso limite ali:

lim n → ∞ ⁡ 9 2 3 4 n - 3

Mesma situação, né? Porque 3 4 < 1 , logo quando o expoente dele explodir para infinito, o valor dele tende a zero. Por isso:

lim n → ∞ ⁡ 9 2 3 4 n - 3 = 0

E sabemos que:

lim n → ∞ ⁡ 0 = 0

E pelo teorema do confronto:

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ 3 n n ! ≤ 0 ∴ lim n → ∞ ⁡ 3 n n ! = 0

Então esse termo realmente tende para zero quando n → ∞ . Provando que nossa sequência vai tender para zero também. Ou seja, será convergente!

Passo 5

b) Essa é o mesmo esquema: a gente quer ver se quando n → ∞ , nosso termo dá um valor, e assim vai ser convergente, ou não.

Mas repara que ali não tem nenhum fatorial. Então a gente pode fazer o limite direto, porque essa sequência pode se passar por função contínua:

lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n

Vamos usar uma propriedade de potência e escrever que:

lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n = lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n 1 n = lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n

Pela propriedade de limites, a gente pode fazer:

lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n = 2 lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n

Vamos chamar esse limite ali no expoente de L :

L = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n

Passo 6

Para calcular ele, a gente pode usar aquela estratégia de quando tinha limite no infinito. Colocar o termo de maior grau em evidência, no numerador e no denominador:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 / n ⋅ 1 + 3 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 3 1 = 0 + 3 1 = 3

Voltando para a nossa sequência, vimos que

lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n = 2 L

Sendo que L = 3 :

lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 3 n n = 2 3 = 8

Vemos então que o limite dá um número também direitinho. Então essa sequência é convergente!

Resposta

a) Convergente

b) Convergente

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