Quais das seguintes sequências são convergentes (justifique a resposta):
a)
b)
Passo 1
a) Cara, ver se uma sequência é convergente é entender se quando , esse termo geral dela vai tender a um valor (no caso, ele é convergente), ou vai explodir para infinito ou ficar variando eternamente. (aí, nesses casos, ela divergente)
Vamos avaliar a nossa:
Não dá para gente colocar ela na forma de limite e fazer , porque para isso a gente precisa colocar essa sequência na forma de função contínua, e isso não é possível por causa daquele fatorial ali.
O que a gente faz então? Vamos ter que refletir e imaginar, com o coração. Podemos começar reescrevendo esse cara:
Faz sentido, né? Agora pensa comigo. Se a gente tem esse termo que vai alternando entre e , se , nossa sequência vai ficar oscilando eternamente entre um valor positivo e um valor negativo.
Mas se o termo que está em produto com ele, esse aqui:
tender a zero, não importa se o outro termo ficar variando entre ou , porque qualquer número em produto com zero dá zero. Então, a única forma de essa sequência ser convergente é se esse termo zerar quando . Vamos ver se isso acontece!
Passo 2
Olha para ele:
Vamos entender como ele funciona. Repara o que acontece para e :
Percebe um padrão? Se , a gente pode escrever:
A partir do termo , só vamos ter termos menores que nessa sequência, um menor do que o anterior. Eles levam esse valor para baixo. Vamos escrever:
Passo 3
Vem comigo agora. Concorda que:
Porque o termo entre parênteses do lado esquerdo é menor que 1 e menor que , certo? E se a gente for colocando os termos seguintes
Agora repara que a gente pode limitar nosso cara, desse jeitinho:
Mas por que aquele ali? Cara, é porque esse termo , já era:
A gente já andou 3 casinhas no , por isso que ali na esquerda só pode ter mais termos.
Passo 4
Esse rolê todo a gente fez, porque agora dá para usar nosso amigo, o teorema do Confronto. Repara:
E a gente repara também que nosso termo geral é sempre . Aí podemos escrever:
Sendo que são só números inteiros. Repara que no limite da direita, esse expoente tende ao infinito, mas a base dele é um número menor que . Quando mais alto um expoente de um número positivo e menor que , mais próximo de zero ele fica.
Tipo
Percebe que e quanto mais a gente aumenta o expoente dele, mais ele tende a zero. Agora olha para o nosso limite ali:
Mesma situação, né? Porque , logo quando o expoente dele explodir para infinito, o valor dele tende a zero. Por isso:
E sabemos que:
E pelo teorema do confronto:
Então esse termo realmente tende para zero quando . Provando que nossa sequência vai tender para zero também. Ou seja, será convergente!
Passo 5
b) Essa é o mesmo esquema: a gente quer ver se quando , nosso termo dá um valor, e assim vai ser convergente, ou não.
Mas repara que ali não tem nenhum fatorial. Então a gente pode fazer o limite direto, porque essa sequência pode se passar por função contínua:
Vamos usar uma propriedade de potência e escrever que:
Pela propriedade de limites, a gente pode fazer:
Vamos chamar esse limite ali no expoente de :
Passo 6
Para calcular ele, a gente pode usar aquela estratégia de quando tinha limite no infinito. Colocar o termo de maior grau em evidência, no numerador e no denominador:
Voltando para a nossa sequência, vimos que
Sendo que :
Vemos então que o limite dá um número também direitinho. Então essa sequência é convergente!
Resposta
a) Convergente
b) Convergente