Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Qual é o limite

lim n → ∞ ⁡ n n n !

Escolha uma opção:

  1. 2
  2. π
  3. 0
  4. 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

ALERTA TRUQUE SUJO!

O problema pediu para calcular esse limite aqui

lim n → ∞ ⁡ n n n !

Mas uma sequência conhecida (conhecida mais ou menos né... mas vou te apresentar ela e você vai virar bff) é essa aqui

n ! n n

Então vou analisar o limite dessa sequência.

Se ela tender à zero, significa que o numerador é menor do que o denominador, e ao inverter, o comportamento vira o ‘contrário’, ou seja, → ∞

Agora se ela tender à infinito, significa que o numerador é maior do que o denominador, e ao inverter, o comportamento será → 0

Então o truque é o seguinte: analisar uma sequência invertida, achar o comportamento dela. Depois inverter o resultado e achar o comportamento da sequência que queremos

Passo 2

Vamos começar analisando a sequência

a n = n ! n n

Primeiro temos que n são números inteiros a partir do 1 . Então essa sequência é positiva e maior do que zero

n ! n n ≥ 0

Agora vamos ver o limite!

Quando n → ∞ temos

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n ! n n = ∞ / ∞

Aí você pensa: beleza! Vou usar a regra de L’Hopital... mas, qual é a derivada do fatorial?

Isso mesmo, não temos uma derivada para n ! Então a regra de L’Hopital não se aplica aqui!

Então vamos analisar termo a termo e tentar escrever um termo geral para essa sequência

a 1 = 1 1 = 1

a 2 = 1.2 2.2

a 3 = 1.2 . 3 3.3 . 3

E o n-ésimo termo

a n = 1.2 . 3 … n n . n . n … n

Beleza?

Podemos reescrever esse termo geral da seguinte forma (colocando o 1 / n em evidência)

a n = 1 n 2.3 … n n . n … n

O termo geral é positivo maior do que zero (como a gente viu no começo desse passo aqui) mas menor do que 1 / n , assim no limite de n → ∞

1 n > 1 n 2.3 … n n . n … n

Podemos pensar que o valor desse termo geral está entre

0 ≤ a n ≤ 1 n

E como 1 n → 0 quando n → ∞ , então

a n → 0

lim n → ∞ ⁡ n ! n n = 0

Passo 3

Agora que sabemos o comportamento de a n , podemos calcular o limite que queremos

No passo anterior achamos o limite

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n ! n n

E queremos o comportamento do inverso 1 / a n

Como temos o limite de a n , podemos usar para calcular o limite do inverso.

Calculando o limite do inverso do a n :

lim n → ∞ ⁡ 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n n n ! = 1 0 = ∞

Então o limite que queremos calcular é infinito e a alternativa correta é a (b).

Até a próxima!

Resposta

( b )

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