UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 32
Qual é o limite
Escolha uma opção:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
ALERTA TRUQUE SUJO!
O problema pediu para calcular esse limite aqui
Mas uma sequência conhecida (conhecida mais ou menos né... mas vou te apresentar ela e você vai virar bff) é essa aqui
Então vou analisar o limite dessa sequência.
Se ela tender à zero, significa que o numerador é menor do que o denominador, e ao inverter, o comportamento vira o ‘contrário’, ou seja,
Agora se ela tender à infinito, significa que o numerador é maior do que o denominador, e ao inverter, o comportamento será
Então o truque é o seguinte: analisar uma sequência invertida, achar o comportamento dela. Depois inverter o resultado e achar o comportamento da sequência que queremos
Passo 2
Vamos começar analisando a sequência
Primeiro temos que são números inteiros a partir do . Então essa sequência é positiva e maior do que zero
Agora vamos ver o limite!
Quando temos
Aí você pensa: beleza! Vou usar a regra de L’Hopital... mas, qual é a derivada do fatorial?
Isso mesmo, não temos uma derivada para Então a regra de L’Hopital não se aplica aqui!
Então vamos analisar termo a termo e tentar escrever um termo geral para essa sequência
E o n-ésimo termo
Beleza?
Podemos reescrever esse termo geral da seguinte forma (colocando o em evidência)
O termo geral é positivo maior do que zero (como a gente viu no começo desse passo aqui) mas menor do que , assim no limite de
Podemos pensar que o valor desse termo geral está entre
E como quando , então
Passo 3
Agora que sabemos o comportamento de , podemos calcular o limite que queremos
No passo anterior achamos o limite
E queremos o comportamento do inverso
Como temos o limite de , podemos usar para calcular o limite do inverso.
Calculando o limite do inverso do :
Então o limite que queremos calcular é infinito e a alternativa correta é a (b).
Até a próxima!