Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Qual é o limite

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n n

Escolha uma opção:

  1. e
  2. 1 e
  3. 1
  4. e 2
  5. 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O enunciado pediu para calcular esse limite aqui

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n n

Nosso primeiro instinto é substituir e ver o que dá, não é? Vamos ver o que temos substituindo n por :

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n n = 1 - 1 ∞ ∞ = 1 ∞

Poxa vida, caímos em uma indeterminação do tipo exponencial!

Como relembrar é viver, vamos reviver um dos limites fundamentais: o limite do e !

e = lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u

Isso mesmo pessoal, esse limite aí é nossa definição do número de Euler, o famoso e !

E é com ajuda dessa definição que vamos resolver nosso limite!

A ideia aqui é fazer uma comparação do limite que precisamos calcular e o limite fundamental, e aí fazer uma substituição.

Mas calma, vamos resolver passo a passo!

Bora lá?

Passo 2

Precisamos calcular esse limite

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n n

E o limite fundamental é

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u

Fazendo a comparação entre os dois, o 1 u seria o mesmo que o - 1 n , certo? Então fazemos uma substituição

1 u = - 1 n → n = - u

Com isso, o expoente em função de u será:

n = - u

Uma observação importante: temos de substituir também a tendência n → ∞ do limite. Ora, se n → ∞ e temos n = - u , então a tendência de u é:

u → - n = - ∞ ; u → - ∞

Passo 3

Passo 4

Agora jogamos todas as mudanças no limite original

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n n = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u - u = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 1

= lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 1

E quem apareceu ali? O limite Fundamental Exponencial! Substituímos seu valor por e de primeira:

lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 1 = e - 1 = 1 e

Esse é nosso resultado! O importante aqui é você entender como manipulá-lo: deixe a base do termo num formato de ( 1 + f ( n ) ) , chame esse f ( n ) - no caso o - 1 n - de 1 u , aplique essa substituição no expoente e no valor da tendência para, por fim, mexer com o grau do expoente e substituí-lo.

Beleza?

Voltando para nosso resultado: 1 / e

Feito! Encontramos a resposta para o limite inicial! A alternativa com a resposta correta é a letra (b).

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( b )

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