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Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

UFSC, Joinville, Cálculo I, Exercícios para Avaliação - 1ª Avaliação, Questão 10

10. A função

f x = e x - 1 t g x ,     s e   x < 0 0 ,     s e   x ≥ 0

É continua no intervalo - π 4 , π 4 ?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma função definida por partes em que para x < 0 a função é dada por e x - 1 t g x e para x ≥ 0 a função é constante e igual a 0 .

Com isso queremos saber se a função é continua no intervalo - π 4 , π 4 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Se analisarmos a primeira parte da função, vamos ver que em x = 0 vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então para verificar se f é contínua, temos que calcular o limite dessa primeira parte e ver se ela tende a segunda parte de f quando x se aproxima de 0 .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Em outras palavras, o que temos que fazer é verificar se esse limite é satisfeito...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = 1

Se sim, é porque a função f é contínua.

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l derivando o numerador e o denominador...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = lim x → 0 ⁡ d e x - 1 d x d t g x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, temos, temos

d e x - 1 d x = e x

d t g x d x = sec 2 ⁡ x

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = lim x → 0 ⁡ e x sec 2 ⁡ x = e 0 sec 2 ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = 1

Logo, f não é contínua.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Não é contínua

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