Discuta a convergência da sequência , onde .
Passo 1
Em geral, quando se tem fatorial na expressão geral de uma sequência, é uma boa compará-la com outras sequências. Vamos tentar, então, aplicar o Teorema do Confronto. Para isso, precisamos reescrever a expressão do .
Já que (pois é o maior termo de ), então:
Temos, assim:
Certo, agora precisamos de um limite inferior. Já que assim como devem ser positivos, podemos afirmar que:
Passo 2
O limite inferior já sabemos que é zero, agora precisamos calcular o superior.
Como ambos os limites são zero, sabemos que .
Resposta
e a sequência converge.
Exercícios de Livros Relacionados
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.24- ∑ n = 1 ∞ - 1 n a r c t gn n
Demonstre que se l i m n → ∞a n = 0 e b n for limitada, então l i m n → ∞ a n b n = 0
Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: { a n } e { b n } convergem para L , então a sequência a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ⋅ ⋅
Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.
A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M M sempre que nN. Com