UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 1b
Verifique se cada uma das sequências, cujo termo geral é dado abaixo, converge
ou diverge. No caso em que a sequência convergir, calcule seu limite.
Passo 1
Oi gente, tudo certo por aí? O problema deu esse termo geral:
E pediu para verificar se ele é divergente ou não. E se a sequência for convergente, precisamos encontrar o valor do seu limite!
Mas como descobrir isso? Pelo limite! Isso mesmo: se o limite do termo geral de uma sequência converge, isto é, se o limite existe e é um valor finito, isso significa que essa sequência é convergente! Se o limite for infinito, então dizemos que essa sequência diverge!
E mais uma coisinha: esse valor do limite que você encontrou é o valor que o problema quer saber! (no caso de a sequência ser convergente, claro)
Relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nosso termo geral é
Então
E é
Nosso primeiro instinto é substituir por , não é mesmo? Mas fazendo isso encontramos uma indeterminação do tipo
E agora? Como proceder? #ALERTATRUQUESUJO
Sempre que você se deparar com uma indeterminação desse tipo você vai fazer o seguinte:
- Avaliar se consegue separar o produto em dois: razão entre polinômios multiplicado por razão de logaritmos
- Dá uma olhada na parte dos logaritmos, percebe que eles têm a mesma potência. Isso significa que podemos passar o limite quando para dentro da potência! A parte em logaritmo é:
- Depois de calcular os limites, vamos substituir o valor no produto dos limites!
Assim podemos usar uma propriedade dos limites que é: o limite do produto é o produto dos limites! Podemos calcular cada um desses limites em separado (o que fica mais tranquilo de fazer) e depois multiplicar os resultados!
Mas calma, não é só isso que podemos fazer!
E aqui podemos usar outra propriedade dos limites: o limite pode “atravessar” a potência, e ir para dentro! Assim ficamos com
Beleza?
Passo 3
Agora vamos seguir os passos do truque sujo!
Tranquilo? Agora vamos calcular separadamente os limites, começando pelo :
Encontramos uma indeterminação do tipo : regra de L’hopital! Deriva em cima, deriva embaixo, e avalia novamente o limite:
Oba! Encontramos um resultado! Agora precisamos calcular o segundo limite!
Passo 4
O segundo limite é:
E está dentro da potência, então, vamos calcular primeiro o limite, para depois elevar ao quadrado a resposta
Reorganizando temos
Elevando ao quadrado temos
Tudo certo até aqui? Agora vamos retomar nosso limite original e substituir os resultados dos passos e !
Passo 5
Nosso limite era esse aqui
Do passo temos que
E do passo :
Assim nosso resultado fica
Temos um resultado finito! Isso significa que a sequência é convergente!
Espero ter ajudado! Até mais!