Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Verifique se cada uma das sequências, cujo termo geral é dado abaixo, converge

ou diverge. No caso em que a sequência convergir, calcule seu limite.

b )   a n = b n + 1 b n ,   s e n d o   b n = 1 n ln 2 ⁡ n

Passo 1

Oi gente, tudo certo por aí? O problema deu esse termo geral:

a n = b n + 1 b n ,   s e n d o   b n = 1 n ln 2 ⁡ n

E pediu para verificar se ele é divergente ou não. E se a sequência for convergente, precisamos encontrar o valor do seu limite!

Mas como descobrir isso? Pelo limite! Isso mesmo: se o limite do termo geral de uma sequência ( q u a n d o   n → ∞ ) converge, isto é, se o limite existe e é um valor finito, isso significa que essa sequência é convergente! Se o limite for infinito, então dizemos que essa sequência diverge!

E mais uma coisinha: esse valor do limite que você encontrou é o valor que o problema quer saber! (no caso de a sequência ser convergente, claro)

Relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nosso termo geral é

a n = b n + 1 b n ,   s e n d o   b n = 1 n ln 2 ⁡ n

Então

b n + 1 = 1 n + 1 ln 2 ⁡ ( n + 1 )

E a n é

a n = n ln 2 ⁡ n n + 1 ln 2 ⁡ ( n + 1 )

Nosso primeiro instinto é substituir n por , não é mesmo? Mas fazendo isso encontramos uma indeterminação do tipo

∞ ∞  

E agora? Como proceder? #ALERTATRUQUESUJO

Sempre que você se deparar com uma indeterminação desse tipo você vai fazer o seguinte:

  • Avaliar se consegue separar o produto em dois: razão entre polinômios multiplicado por razão de logaritmos
  • a n = n ln 2 ⁡ n n + 1 ln 2 ⁡ ( n + 1 ) → a n = n n + 1 ⋅ ln 2 ⁡ n ln 2 ⁡ ( n + 1 )

    Assim podemos usar uma propriedade dos limites que é: o limite do produto é o produto dos limites! Podemos calcular cada um desses limites em separado (o que fica mais tranquilo de fazer) e depois multiplicar os resultados!

    Mas calma, não é só isso que podemos fazer!

  • Dá uma olhada na parte dos logaritmos, percebe que eles têm a mesma potência. Isso significa que podemos passar o limite quando n → ∞ para dentro da potência! A parte em logaritmo é:
  • ln 2 ⁡ n ln 2 ⁡ ( n + 1 ) = ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2

    E aqui podemos usar outra propriedade dos limites: o limite pode “atravessar” a potência, e ir para dentro! Assim ficamos com

    lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2 = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2

  • Depois de calcular os limites, vamos substituir o valor no produto dos limites!

Beleza?

Passo 3

Agora vamos seguir os passos do truque sujo!

lim n → ∞ ⁡ n ln 2 ⁡ n n + 1 ln 2 ⁡ ( n + 1 ) = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 . lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2

Tranquilo? Agora vamos calcular separadamente os limites, começando pelo lim n → ∞ ⁡ n n + 1 :

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = ∞ ∞ ⏝ L ' H o p i t a l

Encontramos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ : regra de L’hopital! Deriva em cima, deriva embaixo, e avalia novamente o limite:

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

Oba! Encontramos um resultado! Agora precisamos calcular o segundo limite!

Passo 4

O segundo limite é:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2

E está dentro da potência, então, vamos calcular primeiro o limite, para depois elevar ao quadrado a resposta

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 = ∞ ∞ ⏝ L ' H o p i t a l = lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 / ( n + 1 )

Reorganizando temos

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = ∞ ∞ ⏝ L ' H o p i t a l = lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

Elevando ao quadrado temos

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2 = 1 2 = 1

Tudo certo até aqui? Agora vamos retomar nosso limite original e substituir os resultados dos passos 3 e 4 !

Passo 5

Nosso limite era esse aqui

lim n → ∞ ⁡ n ln 2 ⁡ n n + 1 ln 2 ⁡ ( n + 1 ) = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 . lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2

Do passo 3 temos que

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = 1

E do passo 4 :

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2 = 1

Assim nosso resultado fica

lim n → ∞ ⁡ n ln 2 ⁡ n n + 1 ln 2 ⁡ ( n + 1 ) = 1.1 = 1

Temos um resultado finito! Isso significa que a sequência é convergente!

Espero ter ajudado! Até mais!

Resposta

c o n v e r g e n t e ,   1

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