Determine se a seguinte sequência possui limite

a_n = (4 * n^2 + cos(n)) / (n^3 + 3)

Passo 1

Vamos calcular o limite desse termo geral quando n → ∞

lim n → ∞ ⁡ a n

Como temos um cosseno ali, isso nos dá indícios que temos que usar o teorema do sanduiche.

- 1 ≤ cos ⁡ n ≤ 1

4 n 2 - 1 ≤ 4 n 2 + cos ⁡ n ≤ 4 n 2 + 1

4 n 2 - 1 n 3 + 3 ≤ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3 ≤ 4 n 2 + 1 n 3 + 3

Vamos fazer os limites dos extremos

Passo 2

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + 1 n 3 + 3 = lim n → ∞ ⁡ n 2 4 + 1 / n 2 n 3 1 + 3 / n 3 = lim n → ∞ ⁡ 4 + 1 / n 2 n 1 + 3 / n 3 = 4 ∞ = 0

A lógica é idêntica ao outro limite:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 - 1 n 3 + 3 = lim n → ∞ ⁡ n 2 4 - 1 / n 2 n 3 1 + 3 / n 3 = lim n → ∞ ⁡ 4 - 1 / n 2 n 1 + 3 / n 3 = 4 ∞ = 0

Logo:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 - 1 n 3 + 3 ≤ lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3 ≤ lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + 1 n 3 + 3

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3 ≤ 0

Pelo teorema do sanduíche esse limite vai ser 0 e essa sequência converge.

Resposta

O limite dela é 0 .

Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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