UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 36
Qual é o limite
Escolha uma opção:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O enunciado pediu para calcular esse limite aqui
Nosso primeiro instinto é substituir e ver o que dá, não é? Vamos ver o que temos substituindo por :
Poxa vida, caímos em uma indeterminação do tipo exponencial!
A ideia para resolver esse tipo de limite é essa:
- Pegar a função na forma exponencial:
- Depois aplicar a exponencial do logaritmo dessa expressão. Isso porque
- Feito isso, podemos calcular . E aqui que vem nosso maior truque sujo! Vamos passar o limite lá para dentro do expoente do ! Assim:
E nosso problema fica calcular o limite daquele da função em ! Com o resultado do limite na mão, substituímos ele de volta no expoente do e aí é correr para o abraço!
Mas fica tranquilo, vamos fazer passo a passo juntos! Beleza?
Passo 2
Vamos pegar a expressão do termo geral e chamar de :
Agora vem o truque sujo (parte 1): fazer a exponencial do logaritmo dessa expressão:
E agora queremos saber o limite dessa expressão quando :
Aqui vem a parte 2 desse truque sujo: passar o limite para o expoente!
Nosso próximo passo é calcular esse limite!
Passo 3
Passo 4
Pegando só o expoente a gente tem
Como ainda temos a indeterminação dentro do logaritmo precisamos manipular essa função. O exponente do logaritmando pode passar multiplicando o
Avaliando esse limite temos e para resolver essa indeterminação podemos usar a Regra de L’Hopital
A regra de L’Hopital consiste em derivar a função que está no numerador e no denominador
Depois disso avaliar novamente o limite no infinito. Mas olha só, se continuar aparecendo uma indeterminação, tenta manipular um pouco sua função e derivar de novo! Faz isso até sair essa indeterminação!
Beleza?
Voltando ao nosso limite
Derivando em cima e embaixo
Avaliando essa nova expressão para o limite temos
Uma observação antes de seguir: não é uma indeterminação, é apenas zero. Nosso denominador assume valores cada vez maiores enquanto o numerador é sempre . Então o resultado disso tende à zero no infinito, sacou?
Pronto! Precisamos voltar para nossa exponencial
Passo 5
Lá do passo 2
E esse limite acabamos de calcular
Feito! Encontramos a resposta para o limite inicial! A alternativa com a resposta correta é a letra (a).
Espero ter ajudado!
Até a próxima!