Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Qual é o limite

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n

Escolha uma opção:

  1. e
  2. 0
  3. e 2
  4. e - 2
  5. 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O enunciado pediu para calcular esse limite aqui

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n

Nosso primeiro instinto é substituir e ver o que dá, não é? Vamos ver o que temos substituindo n por :

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n = 1 + 2 ∞ ∞ = 1 ∞

Poxa vida, caímos em uma indeterminação do tipo exponencial!

Como relembrar é viver, vamos reviver um dos limites fundamentais: o limite do e !

e = lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u

Isso mesmo pessoal, esse limite aí é nossa definição do número de Euler, o famoso e !

E é com ajuda dessa definição que vamos resolver nosso limite!

A ideia aqui é fazer uma comparação do limite que precisamos calcular e o limite fundamental, e aí fazer uma substituição.

Mas calma, vamos resolver passo a passo!

Bora lá?

Passo 2

Precisamos calcular esse limite

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n

E o limite fundamental é

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u

Fazendo a comparação entre os dois, o 1 u seria o mesmo que o 2 n , certo? Então fazemos uma substituição

1 u = 2 n → n = 2 u

Com isso, o expoente em função de u será:

n = 2 u

Uma observação importante: temos de substituir também a tendência n → ∞ do limite. Ora, se n → ∞ e temos n = 2 u , então a tendência de u é:

u → n 2 = + ∞ 2 ; u → + ∞

Passo 3

Passo 4

Agora jogamos todas as mudanças no limite original

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n = lim u → ∞ ⁡ 1 + 2 2 u 2 u = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2

= lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2

E quem apareceu ali? O limite Fundamental Exponencial! Substituímos seu valor por e de primeira:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2 = e 2

Esse é nosso resultado! O importante aqui é você entender como manipulá-lo: deixe a base do termo num formato de ( 1 + f ( n ) ) , chame esse f ( n ) - no caso o 2 n - de 1 u , aplique essa substituição no expoente e no valor da tendência para, por fim, mexer com o grau do expoente e substituí-lo.

Beleza?

Voltando para nosso resultado: e 2

Feito! Encontramos a resposta para o limite inicial! A alternativa com a resposta correta é a letra (c).

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( c )

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