Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

6. Calcule os seguintes limites:

e) lim x → + ∞ ⁡ e 2 x ln ⁡ 1 + e - 2 x  

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos apenas que calcular o limite de f x = e 2 x ln ⁡ 1 + e - 2 x para x → ∞ .

Parece complicado? 😬

Podemos reescrever f x como

f x = ln ⁡ 1 + e - 2 x e - 2 x

Se simplesmente tentássemos substituir x por iriamos cair em uma indeterminação 0 / 0 então quando isso acontece a primeira coisa que podemos pensar em aplicar é a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador da fração de um limite para contornar o problema da indeterminação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite do problema

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + e - 2 x e - 2 x = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + e - 2 x e - 2 x = lim x → ∞ ⁡ d ln ⁡ 1 + e - 2 x d x d e - 2 x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, temos, temos

d ln ⁡ 1 + e - 2 x d x = d 1 + e - 2 x d x · d ln ⁡ u d u = - 2 e - 2 x u

d ln ⁡ 1 + e - 2 x d x = - 2 e - 2 x 1 + e - 2 x

d e - 2 x d x = - 2 e - 2 x

Substituindo no limite...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + e - 2 x e - 2 x = lim x → ∞ ⁡ - 2 e - 2 x 1 + e - 2 x - 2 e - 2 x = lim x → ∞ ⁡ 2 e - 2 x 1 + e - 2 x 2 e - 2 x

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + e - 2 x e - 2 x = lim x → ∞ ⁡ 1 1 + e - 2 x = 1 1 + e - 2 0

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + e - 2 x e - 2 x = 1

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ln �� 1 + e - 2 x e - 2 x = 1

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