UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 48
Qual o limite da sequência , definida por
?
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- 0
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O enunciado pediu para calcular o limite da sequência , isto é, o problema quer que a gente calcular o limite de quando
Nosso primeiro instinto é substituir e ver o que dá, não é? Vamos ver o que temos substituindo por :
Poxa vida, caímos em uma indeterminação do tipo infinito menos infinito!
A ideia para resolver esse tipo de limite é manipular a expressão para o termo geral (dica: usar a propriedade da subtração de logaritmos) para levantar essa indeterminação e aplicar de novo o limite
Mas fica tranquilo, vamos fazer passo a passo juntos! Beleza?
Passo 2
Vamos começar lembrando da propriedade da subtração dos logaritmos
Então voltando para a nossa expressão do termo geral
Aplicando a propriedade da subtração temos o seguinte
E aplicando novamente o limite
Opa, temos uma indeterminação dentro do ! Poxa vida!
Mas calma lá! Tem um truque sujo que podemos aplicar aqui! #ALERTATRUQUESUJO
Passo 3
O limite tem uma coisa muito legal: ele é um operador linear e pode ‘atravessar’ o ln e ir direto para dentro do argumento, saca só
E agora nosso foco é calcular aquele limite dentro do :
Mais uma indeterminação! Mas juro, é a última! Essa indeterminação é do tipo e podemos aplicar a regra de L’hopital!
A regra de L’hopital consiste em derivar em cima e embaixo e aplicar novamente o limite. É isso que vamos fazer
Ok? Tranquilo? Agora voltamos para o logaritmo, já que temos o resultado de :
Assim o limite da sequência é:
Beleza?
Espero ter ajudado!
Até a próxima!