Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

6. Calcule os seguintes limites:

b) lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos apenas que calcular o limite de f x = cos ⁡ x - 1 e x - 1 para x → 0 .

Parece complicado? 😬

Se simplesmente tentássemos substituir x por 0 iriamos cair em uma indeterminação 0 / 0 então quando isso acontece a primeira coisa que podemos pensar em aplicar é a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador da fração de um limite para contornar o problema da indeterminação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = lim x → 0 ⁡ d cos ⁡ x - 1 d x d e x - 1 d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d cos ⁡ x - 1 d x = - sin ⁡ x

d e x - 1 d x = e x

Substituindo no limite

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x e x

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x e x = - sin ⁡ 0 e 0

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 e x - 1 = 0

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