Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

6. Calcule os seguintes limites:

a) lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos apenas que calcular o limite de f x = e x - e - x sin ⁡ 2 x para x → 0 .

Parece complicado? 😬

Se simplesmente tentássemos substituir x por 0 iriamos cair em uma indeterminação 0 / 0 então quando isso acontece a primeira coisa que podemos pensar em aplicar é a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador da fração de um limite para contornar o problema da indeterminação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ d e x - e - x d x d sin ⁡ 2 x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, temos

d e x - e - x d x = e x - - e x = 2 e x

d sin ⁡ 2 x d x = 2 cos ⁡ 2 x

Substituindo no limite

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ 2 e x 2 cos ⁡ 2 x

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ e x cos ⁡ 2 x

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ e x cos ⁡ 2 x = e 0 cos ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = 1

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