PUCRIO – Física 1 – 2020.1 – P2 – M. Escolha
. Um bloco de massa é solto do repouso de uma altura (posição ) na pista ilustrada na figura. A pista é sem atrito, a menos de um trecho de comprimento e coeficiente de atrito cinético . O bloco chega à mola de constante elástica e a comprime até chegar a um repouso momentâneo. Determine a compressão máxima da mola, a velocidade do bloco em , quando este passa pelo trajeto pela segunda vez, a posição que o bloco para finalmente. Adote
Passo 1
Vamos juntos que a gente resolve essa questão!
Temos em mãos uma situação que envolve conservação de energia, tirando o tempo que o bloco passar por , e também temos dissipação de energia nesse trecho .
Para encontrarmos a compressão máxima da mola, vamos usar o fato de que o bloco parte do repouso, então sua energia cinética é zero e quando ele comprime a mola, no final, a sua velocidade é zero, logo sua energia cinética também, então:
Então todo esse percurso temos três forças que realizam trabalho no bloco, a força gravitacional, a de atrito e a elástica. Usando o teorema do trabalho/energia cinética, temos que:
Como a variação da energia cinética é zero, temos:
Vamos então encontrar expressões para esses trabalhos e extrair a compressão máxima da mola.
Depois que o bloco comprime a mola e essa empurra ele de volta, ele adquire uma velocidade, e essa é a velocidade com que ele entra em .
Para achar essa velocidade com que ele entra em , vamos usar a conservação de energia, onde, incialmente só temos energia potencial elástica da mola e no final a energia cinética, adquirida depois do empurrão da mola, assim:
A velocidade que o enunciado pede é a que ele tem depois que passou por , para isso temos que saber a aceleração causada pela força de atrito nessa parte que desacelera o bloco, sabendo essa aceleração, vamos usar a seguinte equação da cinemática para acharmos a velocidade:
Com isso encontramos a velocidade depois que ele passa por .
Para achar em que posição o bloco vai parar, temos que nos ligar que o único trajeto em que o bloco perde velocidade é em , então temos que aplicar essa equação acima nele até chegarmos ao ponto que ele tem velocidade igual a zero, com isso saberemos onde ele parou.
Passo 2
Vamos atrás da compressão máxima da mola primeiro, temos:
O trabalho é igual a força vezes a distância que essa força atuou. Começando com a força peso temos que:
A distância é , pois a força peso não depende da trajetória.
O trabalho da força de atrito é dado por:
Mas como no trecho o bloco está em repouso na vertical temos que , então:
Agora o trabalho da força elástica é dado por:
Onde é a compressão da mola.
Passo 3
Juntando tudo o que sabemos, ficamos com:
Agora vamos isolar , temos:
Substituindo os valores que conhecemos, lembrando que , assim temos:
Assim temos que:
Passo 4
Vamos agora char a velocidade com que o bloco entra em depois que ele é parado pela mola. Usando a conservação de energia temos:
Isolando , temos:
Substituindo o que sabemos, temos:
Vamos deixar assim, para facilitar nossa vida.
Passo 5
Agora vamos usar a equação da cinemática para achar a velocidade com que o bloco passa por , temos:
Essa aceleração podemos encontrar da segunda lei de Newton, no trecho , só temos a força de atrito atuando, logo ela é nossa força resultante, assim:
Assim a primeira equação fica da seguinte forma:
Como a força de atito só ache nesse trecho, então a aceleração também, assim , assim temos:
Essa é a velocidade com que ele passa por .
Passo 6
Agora temos que achar onde ele para!
Depois que ele passa pelo trecho ele sobe a rampa e volta e entra nesse trecho com a mesma velocidade com que saiu já que a energia se conserva no movimento de subir e descer a rampa.
Então vamos usar a equação da cinemática para saber a velocidade com que ele deixa o trecho em direção a mola, temos:
Substituindo o que sabemos, temos:
Assim temos:
Então depois que ele sai do trecho ele vai na direção da mola, é parado e depois é mandado de volta com a mesma velocidade, já que temos conservação de energia.
Assim ele entra de novo no trecho com a mesma velocidade com que ele tinha quando saiu, vamos aplicar mais uma vez a equação da cinemática e ver com que velocidade ele sai, temos:
Isso nos dá aproximadamente que:
Então ele chega no final do trecho com uma velocidade igual a zero indo na direção de , então esse é o ponto que ele para.
Resposta
Ponto de parada