Unicamp, Cálculo 3, 2019.2, P1, Questão 5.
Calcule
Passo 1
O grande segredo dessa questão é se ligar nessa propriedade aqui das transformadas de Laplace.
Imagina que você tem uma função que tem como transformada:
Então:
Esse aí de cima não é ninguém específico, é só uma variável qualquer!
Passo 2
Beleza? Percebeu a semelhança com a nossa questão? No nosso caso:
Então:
Lembrando que a transformada de Laplace é um operador linear. Ou seja, vale essa propriedades aqui:
Isso quer dizer que a gente pode fazer o seguinte:
Essas duas transformadas você já deve ter decorado, ou pode consultar uma tabela.
A transformada do cosseno é:
E a tranformada da constante é:
Isso quer dizer que:
Passo 3
Ok, já “calculamos” a primeira parte daquela propriedade que a gente viu lá no passo :
E a outra parte da propriedade diz que:
Ou seja:
Ótimo! Essa transformada aí da esquerda é exatamente o que a questão pediu. Agora nossa tarefa é simplesmente calcular aquela integral ali do lado direito.
Passo 4
Vamos começar dividindo a integral em duas:
A primeira integral é:
E a integral da direita é:
Então:
Transformando aquele em um expoente dentro do logaritmo:
E lembrando que , a gente chega nesse resultado aqui:
Agora é só substituir os limites de integração:
Passo 5
Pra resolver aquele primeiro limite, a gente pode dividir a fração por no numerador e no denominador:
Então, quando o tende ao infinito aquela fração vai tender a zero:
Voltando para a nossa integral:
Andamos bastante, mas lembra que essa integral que a gente está resolvendo era essa aqui:
Então:
Pronto! Essa é a resposta final
Resposta
A transformada da função é .