UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 55c
Determine condições sobre as constantes e para que o polinômio homogêneo de segunda ordem satisfaça a equação de Laplace.
Passo 1
Olá gente bonita, como vocês estão?
Nessa questão precisamos encontrar as condições para e de modo que o polinômio homogêneo de segunda ordem dado por:
satisfaça a equação de Laplace.
Mas, pera um pouco, tá todo mundo lembrado do que é a equação de Laplace? Vamo dar uma revisada!
A equação de Laplace diz que:
Se uma função satisfaz a equação de Laplace e é contínua em uma região , ela é dita contínua.
Então beleza, vamos pegar a dada no enunciado impor que ela satisfaz a equação de Laplace para a partir daí encontrar a relação entre os coeficientes.
Passo 2
Bom, para substituir a nossa função na equação de Laplace, vamos começar calculando suas derivadas parciais com relação a e a .
Derivando novamente, e lembrando que nessa derivada é como uma constante, temos:
Massa! Vamos agora calcular as derivadas com relação a :
Derivando novamente:
Ótimo!
Como temos aqui uma função de duas variáveis, a equação de Laplace será dada por:
Substituindo os resultados que já encontramos, vem:
Portanto, o nosso polinômio homogêneo de segunda ordem, para que obedeça a equação de Laplace, deverá ser dado por:
Ou seja, as condições são:
Prontinho pessoal!
Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😊