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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 8e.

8. Calcule as transformadas de Laplace das funções dadas.

e) t 2 c o s a t

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, estamos interessados em obter a transformada de Laplace da função f t = t 2 c o s a t .

Como podemos fazer isso? 🤔

Para obter a transformação de uma função f t para F s usamos a integral de transformação

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Pra essa transformada existir, deve atender a uma regra: a função f t deve ser continua no intervalo 0 , ∞

Bora ver como é no nosso caso? 😁

Passo 2

Analisando a função f t , vemos que ela é continua em todo o intervalo, então vamos aplicar a integral de transformação.

F s = ∫ 0 ∞ t 2 c o s a t e - s t d t

Pelo método de integração por partes, temos

u = t 2 d v = c o s a t e - s t → d u = 2 t v = a s e n a t e - s t - s c o s a t e - s t s 2 + a 2

∫ t 2 c o s a t e - s t d t = t 2 s e n a t t e - s t - ∫ a s e n a t e - s t - s c o s a t e - s t s 2 + a 2 2 t d t

∫ t 2 c o s a t e - s t d t = t s e n a t e - s t - 2 ∫ a t s e n a t e - s t - s t c o s a t e - s t s 2 + a 2 d t

Novamente aplicando o método de integração por partes...

∫ t 2 c o s a t e - s t d t = t s e n a t e - s t - 2 e - s t a 3 1 - 2 s t - s 3 2 s t + 3 s e n a t + - a 4 t - 3 a 2 s + s 3 + s 4 t cos ⁡ a t s 2 + a 2 3

Tudo certo até aqui? 👀

Passo 3

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 ∞ t 2 c o s a t e - s t d t = ∞ s e n a ∞ e - s ∞ - 2 e - s ∞ a 3 1 - 2 s ∞ - s 3 2 s ∞ + 3 s e n a ∞ + - a 4 ∞ - 3 a 2 s + s 3 + s 4 ∞ cos ⁡ a ∞ s 2 + a 2 3 - 0 s e n a 0 e - s 0 - 2 e - s 0 a 3 1 - 2 s 0 - s 3 2 s 0 + 3 s e n a 0 + - a 4 0 - 3 a 2 s + s 3 + s 4 0 cos ⁡ a 0 s 2 + a 2 3

Lembrando que e 0 = cos ⁡ 0 = 1 e e - ∞ = s e n 0 = 0 , então

∫ 0 ∞ t 2 c o s a t e - s t d t = 0 - 0 s 2 + a 2 3 - 0 - 2 0 + 0 - 3 a 2 s + s 3 + 0 s 2 + a 2 3

∫ 0 ∞ t 2 c o s a t e - s t d t = 2 - 3 a 2 s + s 3 s 2 + a 2 3

Portanto, a transformada de f t é dada por

F s = 2 s s 2 - 3 a 2 s 2 + a 2 3

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

F s = 2 s s 2 - 3 a 2 s 2 + a 2 3

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Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞