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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 8c.

8. Calcule as transformadas de Laplace das funções dadas.

c) t s e n 3 t

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, estamos interessados em obter a transformada de Laplace da função f t = t s e n 3 t .

Como podemos fazer isso? 🤔

Para obter a transformação de uma função f t para F s usamos a integral de transformação

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Pra essa transformada existir, deve atender a uma regra: a função f t deve ser continua no intervalo 0 , ∞

Bora ver como é no nosso caso? 😁

Passo 2

Analisando a função f t , vemos que ela é continua em todo o intervalo, então vamos aplicar a integral de transformação.

F s = ∫ 0 ∞ t s e n 3 t e - s t d t

Pelo método de integração por partes, temos

u = t d v = s e n 3 t e - s t → d u = 1 v = - 3 s 2 + 9 cos ⁡ 3 t e - s t + s s 2 + 9 s e n 3 t e - s t

∫ t s e n 3 t e - s t d t = - t 3 s 2 + 9 cos ⁡ 3 t e - s t + s s 2 + 9 s e n 3 t e - s t - ∫ 3 s 2 + 9 cos ⁡ 3 t e - s t + s s e n 3 t e - s t d t

∫ t s e n 3 t e - s t d t = - t 3 s 2 + 9 cos ⁡ 3 t e - s t + s s 2 + 9 s e n 3 t e - s t - 1 s 2 + 9 2 - 9 e - s t s e n 3 t + 6 s e - s t cos ⁡ 3 t + s 2 e - s t s e n 3 t

Grandinho, né? Aplicando os limites de integração...

∫ 0 ∞ t s e n 3 t e - s t d t = - ∞ 3 s 2 + 9 cos ⁡ 3 ∞ e - s ∞ + s s 2 + 9 s e n 3 ∞ e - s ∞ - 1 s 2 + 9 2 - 9 e - s ∞ s e n 3 ∞ + 6 s e - s ∞ cos ⁡ 3 ∞ + s 2 e - s ∞ s e n 3 ∞ - - 0 3 s 2 + 9 cos ⁡ 3 0 e - s 0 + s s 2 + 9 s e n 3 0 e - s 0 - 1 s 2 + 9 2 - 9 e - s 0 s e n 3 0 + 6 s e - s 0 cos ⁡ 3 0 + s 2 e - s 0 s e n 3 0

Sabemos que e - ∞ = 0 , e 0 = 1 , s e n 0 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 , então...

∫ 0 ∞ t s e n 3 t e - s t d t = - ∞ 0 + 0 - 1 s 2 + 9 2 - 0 + 0 + 0 - - 0 3 s 2 + 9 + 0 - 1 s 2 + 9 2 - 0 + 6 s + 0

F s = 6 s s 2 + 9 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

F s = 6 s s 2 + 9 2

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Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
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Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞