UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 55a
Verifique que todas as funções que sejam polinômios de e de primeira ordem satisfazem a equação de Laplace. (ou seja, são funções harmônicas).
Passo 1
Faaaala pessoal, tudo beleza com vocês?
Nessa questão precisamos mostrar que se temos uma função de duas variáveis:
tal que é um polinômio em e em de primeira ordem, ou seja:
satisfaz a equação de Laplace.
Mas, pera um pouco, tá todo mundo lembrado do que é a equação de Laplace? Vamo dar uma revisada!
A equação de Laplace diz que:
Se uma função satisfaz a equação de Laplace e é contínua em uma região , ela é dita contínua.
Então beleza, vamos pegar a dada no enunciado e verificar se ela obedece a equação de Laplace.
Passo 2
Bom, como temos aqui uma função de duas variáveis, a equação de Laplace será dada por:
Precisamos que a nossa função:
(onde e são constantes), satisfaça essa equação.
Vamos começar calculando a derivada de com relação a :
Calculando a segunda derivada:
Pois a derivada de uma constante é sempre nula.
Calculando agora a derivada com relação a , vamos ter:
Agora a segunda derivada:
Olha que massa! Ambas derivadas deram zero.
Assim, quando fazemos:
Vamos ter:
Logo, a função:
De fato, satisfaz a equação de Laplace!
E aí gente, curtiram a solução?
Responde Aí!
Resposta
Resposta no texto.