UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 11c
Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
Ooi pessoal, como estão as coisas por aí?
Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):
Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?
Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:
Aplicar Laplace à EDO;
Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);
Decompor a expressão de em frações parciais;
Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar a partir da expressão encontrada na etapa anterior.
Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!
Vem comigo 😊
Passo 2
Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.
Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:
Massa!
Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem :
Show! Vamos então aplicar essa fórmula em e em . Temos:
Substituindo os valores iniciais:
Boa! Vamos agora para :
Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:
Precisamos calcular a transformada da função do lado direito da igualdade. Lembrando que:
Logo:
Substituindo na EDO, ficamos com:
Muito bom! Terminamos a primeira etapa.
Passo 3
Vamos agora para a segunda parte:
Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de (não se esqueçer de substituir os valores iniciais que o problema deu);
Vamos trabalhar com a nossa expressão e isolar :
Muito bom!
Passo 4
Decompor a expressão de em frações parciais;
No passo anterior encontramos:
Para separar em frações parciais, devemos primeiro descobrir as raízes do denominador.
Por inspeção, temos e . Daí, temos:
Como no denominador temos uma raiz múltipla e outra linear, a separação em frações parciais fica:
Daí manipulando o lado direito da nossa expressão, temos:
Daí, como:
Podemos igualar os polinômios do numerador:
Substituindo a primeira na segunda:
Substituindo esses resultados na terceira equação:
Muito bom! Logo, encontramos:
E:
Portanto, a nossa separação em frações parciais fica:
Assim, temos:
Excelente! Deu um trabalhinho, mas saiu 😊
Passo 5
Agora vamos para a última etapa:
Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar a partir da expressão encontrada na etapa anterior.
Bom, chegamos no passo anterior que:
Das transformações conhecidas, sabemos que:
Assim, já temos que:
E:
Mas, e aquele termo com no denominador. Qual a função cuja transformação dá aquilo?
Então, uma bem importante da gente ter na memória é:
Assim, para o termo que estamos analisando, temos . Logo:
Perfeito! Juntando todas essas informações, e pela linearidade da transformação de Laplace, vamos ter:
Portanto:
Uhuuuuul! Conseguimos gente! Vocês entenderam direitinho?
Responde Aí!