Nos problemas de ( a ) até ( i ) , use a definição de transformada de Laplace para calcular L f t

a )   f t = - 1 ,   0 ≤ t < 1 1 ,   t ≥ 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f t = - 1 ,   0 ≤ t < 1 1 ,   t ≥ 1

L f t . Mas você lembra da definição da transformada?

A transformada de Laplace é

L f t . = F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Então a ideia é aplicar essa definição na função dada, calcular a integral em t e aplicar nos limites de integração! O resultado será uma função em s ! Não esqueça disso!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função é definida por partes, então vamos separar nossa integral conforme o domínio das partes da função

f t = - 1 ,   0 ≤ t < 1 1 ,   t ≥ 1

Aí nossa integral fica assim

∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 1 - 1 e - s t d t + ∫ 1 ∞ 1 e - s t d t

Nossa missão agora é resolver essas duas integrais!

Passo 3

Integrando em t temos

∫ 0 1 - 1 e - s t d t + ∫ 1 ∞ 1 e - s t d t = + 1 s e - s t 0 1 + - 1 s e - s t 1 ∞

E agora aplicando os limites de integração

e - s s - 1 s + - 1 s e ∞ ⏝ → 0 + e - s s = 2 s e - s - 1 s

E é isso! Até a próxima!

Resposta

2 s e - s - 1 s

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