UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 57
Escreva o problema de Dirichlet para a equação de Laplace satisfeito pela função no quadrado unitário
Passo 1
Faaaaaala galera do meu Brasil varonil, tudo certinho com vocês?
Nessa questão temos o famoso problema de Dirichlet no retângulo. Aqui é um pouco diferente, pois o enunciado não nos pede pra encontrar a solução, na realidade já é falado que a função:
é solução do problema de Dirichlet.
O que precisamos fazer é montar o problema de Dirichlet cuja solução é . Sacaram?!
Para fazer isso precisamos dar uma revisada do caso geral do problema de Dirichlet no Retângulo:
Massa, sabendo disso basta nós descobrir quais funções nas condições de contorno nos dará como solução do problema.
Passo 2
Bom, primeiramente, se refere a equação de Laplace:
A nossa função solução:
Já satisfaz essa equação (todo polinômio de primeira ordem satisfaz a equação de Laplace).
Vamos analisar então as outras condições dadas no problema geral.
Aqui temos que o retângulo na realidade é um quadrado unitário, ou seja:
Assim, temos que:
Mas, como já sabemos que é a solução, podemos calcular diretamente:
Continuando, temos que:
Logo:
Indo agora para a terceira linha do nosso problema geral, temos que:
E, por fim:
Muito bom!
Passo 3
Juntando todas essas informações, podemos escrever o problema de Dirichlet em que é solução, como:
E é isso galera! Essa é a nossa resposta!
Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😉