UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 11f
Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
E aí gente, tudo certinho por aí?
Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):
Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?
Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:
Aplicar Laplace à EDO;
Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);
Decompor a expressão de em frações parciais;
Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar a partir da expressão encontrada na etapa anterior.
Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!
Vem comigo 😊
Passo 2
Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.
Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:
Massa!
Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem :
Show! Vamos então aplicar essa fórmula em e em . Temos:
Substituindo os valores iniciais:
Já em :
Substituindo os valores iniciais:
Boa!
Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:
Precisamos calcular a transformada da função do lado direito da igualdade. Lembrando que:
Substituindo na EDO, ficamos com:
Prontinho!
Passo 3
Vamos para a próxima etapa!
Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de :
No passo anterior, encontramos:
Daí, isolando , vem:
Logo:
Muito bom!
Passo 4
Decompor a expressão de em frações parciais;
No passo anterior encontramos:
O primeiro termo já está separado dos demais. Precisamos mexer apenas em:
Podemos usar que:
Logo:
Passo 5
Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar a partir da expressão encontrada na etapa anterior.
Encontramos que:
Agora precisamos consultar a nossa tabelinha de transformadas de Laplace pra descobrir quais as funções que geram cada uma dessas frações!
Uma transformada que precisamos ter sempre em mente é:
Assim:
Massa! Dois termos já morreram 😊
Temos que descobrir qual função gera:
Aqui podemos usar um truque legal, na mesma pegada das frações parciais.
(é o produto notável da diferença de quadrados).
Daí:
Mas:
Ou seja:
Excelente! Pois, descobrir a função cuja transformada nos dá cada uma dessas frações é bem mais simples. Pois:
Logo:
Portanto:
Vai ser igual a:
Logooo:
Prontinho gente! Encontramos a solução da nossa EDO 😊
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