Nos problemas de (a) até (i) , use a definição de transformada de Laplace para calcular L{f(t)}

d(f(t)) = e^(t + 7)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f t = e t + 7

L f t . Mas você lembra da definição da transformada?

A transformada de Laplace é

L f t = F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Então a ideia é aplicar essa definição na função dada, calcular a integral em t e aplicar nos limites de integração! O resultado será uma função em s ! Não esqueça disso!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função é

f t = e t + 7

Aí nossa integral fica assim

∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 ∞ e t + 7 e - s t d t

Podemos agrupar os expoentes com t e tirar da integral o e 7 :

= e 7 ∫ 0 ∞ e t ( - s + 1 ) d t

Nossa missão agora é resolver essa integral!

Passo 3

Integrando em t temos

e 7 ∫ 0 ∞ e t - s + 1 d t

Por substituição simples

u = - t s - 1

d u = - ( s - 1 ) d t

Integrando temos

= e 7 . - e - t s - 1 s - 1 0 ∞

Beleza?

Agora é só aplicar nos limites

= e 7 - 1 ∞ + 1 s - 1 = e 7 s - 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

e 7 s - 1

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