Calcule, pela definição da Transformada de Laplace, .
Passo 1
A definição da Transformada de Laplace é a seguinte:
Podemos escrever então
Passo 2
Vamos agora calcular essa integral. Não conseguimos fazer uma integração direta de cara, não é? Vamos tentar então integrar por partes. Temos:
Para definirmos quem é e quem é , vamos usar aquele macete do LIATE. Com isso, temos que a função algébrica (polinômio) tem preferência para ser chamada de . Então fica assim,
Substituindo esses valores
Resolvendo a parte da integral temos,
Lembrando e são constantes, pois estamos integrando em função de .
Seguindo com a resolução, ficamos com
Passo 3
Vamos agora tomar o limite dessa expressão que encontramos.
Bem, como a última fração não tem nenhum , podemos tirar ela do limite.
Agora vamos analisar com calma. Se fizermos , teremos a exponencial tendendo pra infinito e o termo tendendo para infinito também! Então daria uma indeterminação de cara!
Por outro lado, quando , o da exponencial fica com um sinal de negativo e ela vai tender pra ! Repara só, eu separei os termos do limite para visualizar melhor
Como, o meu expoente sera negativo, o limite que tá no meio da expressão vai zerar. Aí ficamos assim,
O limite que sobrou cai em uma indeterminação do tipo . Com isso, não podemos aplicar L’Hopital, mas vamos rescrever o limite dessa forma,
Agora caímos em uma indeterminação do tipo e podemos usar L’Hospital. Derivando o numerador e o denominador, temos:
Então, encontramos:
Eu sei que esse resultado é diferente do que aparece na tabela. Vamos fazer umas Matemáticas:
Show?