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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 8f.

8. Calcule as transformadas de Laplace das funções dadas.

f) t n ,   n ∈ N

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, estamos interessados em obter a transformada de Laplace da função f t = t n .

Como podemos fazer isso? 🤔

Para obter a transformação de uma função f t para F s usamos a integral de transformação

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Pra essa transformada existir, deve atender a uma regra: a função f t deve ser continua no intervalo 0 , ∞

Bora ver como é no nosso caso? 😁

Passo 2

Analisando a função f t , vemos que ela é continua em todo o intervalo, então vamos aplicar a integral de transformação.

F s = ∫ 0 ∞ t n e - s t d t

Aplicando o método de integração por partes fazendo

u = t n d v = e - s t → d u = v = - e - s t s

∫ t n e - s t d t = - t n e - s t s - ∫ - n t n - 1 e - s t s d t

∫ t n e - s t d t = - t n e - s t s + ∫ n t n - 1 e - s t s d t

Aplicando o método de integração por partes novamente, temos

∫ t n e - s t d t = - t n e - s t s - n t n - 1 e - s t s 2 - ∫ - n n - 1 t n - 2 e - s t s 2 d t

∫ t n e - s t d t = - t n e - s t s - n t n - 1 e - s t s 2 - n n - 1 t n - 2 e - s t s 3 - n n - 1 n - 2 t n - 3 e - s t s 4 - … - n n - 1 n - 2 … n - n + 1 t n - n e - s t s n + 1

Aplicamos esse método de integração n vezes.

Entendeu essa parte? 🤔

Passo 3

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 ∞ t n e - s t d t = - ∞ n e - s ∞ s - n ∞ n - 1 e - s ∞ s 2 - n n - 1 ∞ n - 2 e - s ∞ s 3 - n n - 1 n - 2 ∞ n - 3 e - s ∞ s 4 - … - n n - 1 n - 2 … n - n + 1 ∞ n - n e - s ∞ s n + 1 - - 0 n e - s 0 s - n 0 n - 1 e - s 0 s 2 - n n - 1 0 n - 2 e - s 0 s 3 - n n - 1 n - 2 0 n - 3 e - s 0 s 4 - … - n n - 1 n - 2 … n - n + 1 0 n - n e - s 0 s n + 1

Sabemos que e - ∞ = 0 e e 0 = 1 , então

∫ 0 ∞ t n e - s t d t = - 0 - 0 - 0 - 0 - … - 0 - - 0 - 0 - 0 - 0 - … - n n - 1 n - 2 … n - n + 1 1 s n + 1

∫ 0 ∞ t n e - s t d t = n n - 1 n - 2 … n - n + 1 1 s n + 1

Perceba que n n - 1 n - 2 … n - n + 1 = n ! , então a transformada de t n é dada por

F s = n ! s n + 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

F s = n ! s n + 1

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞