Nos problemas de (a) até (i) , use a definição de transformada de Laplace para calcular L{f(t)}

f(t) = t * e^(4t)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa quest��o nos dá essa função aqui

f t = t e 4 t

L f t . Mas você lembra da definição da transformada?

A transformada de Laplace é

L f t = F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Então a ideia é aplicar essa definição na função dada, calcular a integral em t e aplicar nos limites de integração! O resultado será uma função em s ! Não esqueça disso!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função

f t = t e 4 t

Aí nossa integral fica assim

∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 ∞ t e - t ( s - 4 ) d t

Nossa missão agora é resolver essa integral!

Passo 3

Integrando em t temos

∫ 0 ∞ t e - t s - 4 d t

Temos um produto de um polinômio por uma exponencial, então vamos usar a integração por partes:

u = t

d u = d t

d v = e - t s - 4 d t

v = - 1 ( s - 4 ) e - t ( s - 4 )

E agora aplicando a fórmula

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ 0 ∞ t e - t s - 4 d t = - t ( s - 4 ) e - t ( s - 4 ) 0 ∞ - ∫ 0 ∞ - 1 ( s - 4 ) e - t ( s - 4 ) d t

= + 1 ( s - 4 ) ∫ 0 ∞ e - t ( s - 4 ) d t

ué! Temos outra integral?

Agora precisamos calcular essa segunda integral!

= 1 ( s - 4 ) ∫ 0 ∞ e - t ( s - 4 ) d t = - 1 s - 4 2 e - t s + 4 0 ∞

Aplicando nos limites

- 1 ∞ + 1 s - 4 2

F s = 1 s - 4 2

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1 s - 4 2

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