UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 68d
Utilizando o exercício anterior, para cada uma das funções especificadas a seguir, determine a função harmônica fora do círculo , que coincide com a função dada sobre a circunferência .
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
O enunciado nos indica uma condição de fronteira do tipo
essa condição de fronteira é dada em , em que é a circunferência de uma circunferência. A condição de fronteira deve ser usada para determinarmos uma solução harmônica como solução da equação de Laplace
a solução é obtida no exercício anterior como
Vamos aplicar a condição de fronteira e obter o nosso resultado!
Passo 2
Usando que temos que
temos que , portanto
Aqui teremos que calcular os coeficientes de Fourier explicitamente! No entanto, temos que a função é par! Portanto, apenas os coeficientes e serão não nulos, estes coeficientes podem ser calculados como
e, também
Vamos calcular as integrais!
Passo 3
O coeficiente pode ser encontrado diretamente como
ou, avaliando os limites
Os outros coeficientes terão que ser calculados usando integração por partes! Então vamos fazer isso no próximo passo!
Passo 4
Temos a seguinte integração
usando integração por partes com a escolha
e
e, também
e
Temos então que
como temos que , o primeiro termo se anula quando avaliarmos os limites, sobrando
Temos que aplicar integração por partes novamente! Bora lá!
Passo 5
Integrando por partes mais uma vez, temos que
e
assim como
e
sendo assim, temos que o coeficiente é dado por
avaliando os limites no primeiro termo temos que
a integral pode ser identificada como
Portanto, temos finalmente que
e juntando este resultado e o que obtivemos para , temos que a solução geral é dada por
A questão foi essa! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta