Sejam u_1 e u_2 funções harmônicas (i.e soluões da equação de Laplace).

a) Prove que c₁u₁ + c₂u₂ também é uma função harmônica para quaisquer c₁, c₂ ∈ R .

Passo 1

Fala aí galera, tudo beleza?

Nessa questão o enunciado nos fala que u 1 e u 2 são duas funções harmônicas, ou seja, satisfazem a equação de Laplace.

Isso significa que:

∑ j = 1 n ∂ 2 u ∂ x j 2 = 0 ,     u = u ( x 1 , x 2 , … ,   x n )

O que é válido tanto para u 1 como para u 2 .

A partir dessa informação, o enunciado nos pede para provar que:

u = c 1 u 1 + c 2 u 2

também é uma função harmônica.

Pra fazer isso vamos buscar calcular as segundas derivadas parciais de u , usar que u 1 e u 2 são harmônicas para mostrar que somatório dessas derivadas parciais vale zero.

Vem com a gente que vai ficar mais claro 😊

Passo 2

Bom, queremos calcular:

∑ j = 1 n ∂ 2 u ∂ x j 2

Vamos tomar apenas um desses termos para analisar com mais detalhes:

∂ 2 u ∂ x j 2

Como:

u = c 1 u 1 + c 2 u 2

Temos:

∂ 2 c 1 u 1 + c 2 u 2 ∂ x j 2 = ∂ 2 c 1 u 1 ∂ x j 2 + ∂ 2 c 2 u 2 ∂ x j 2

Como as constantes podem sair da derivada parcial:

∂ 2 u ∂ x j 2 = c 1 ∂ 2 u 1 ∂ x j 2 + c 2 ∂ 2 u 2 ∂ x j 2

Beleza! Vamos então voltar pro nosso somatório:

∑ j = 1 n ∂ 2 u ∂ x j 2 = ∑ j = 1 n c 1 ∂ 2 u 1 ∂ x j 2 + c 2 ∂ 2 u 2 ∂ x j 2

Podemos então separar esses somatórios:

∑ j = 1 n c 1 ∂ 2 u 1 ∂ x j 2 + c 2 ∂ 2 u 2 ∂ x j 2 = ∑ j = 1 n c 1 ∂ 2 u 1 ∂ x j 2 + ∑ j = 1 n c 2 ∂ 2 u 2 ∂ x j 2

Como as constantes aparecem em todos os termos de cada um dos seus somatórios, podemos colocá-las em evidência:

∑ j = 1 n c 1 ∂ 2 u 1 ∂ x j 2 + ∑ j = 1 n c 2 ∂ 2 u 2 ∂ x j 2 = c 1 ∑ j = 1 n ∂ 2 u 1 ∂ x j 2 + c 2 ∑ j = 1 n ∂ 2 u 2 ∂ x j 2

Essa expressão é muuuuito interessante...

Como u 1 é uma função harmônica, vale que:

∑ j = 1 n ∂ 2 u 1 ∂ x j 2 = 0

Analogamente, como u 2 é função harmônica, também vale que:

∑ j = 1 n ∂ 2 u 2 ∂ x j 2 = 0

Substituindo isso, vem que:

c 1 ∑ j = 1 n ∂ 2 u 1 ∂ x j 2 + c 2 ∑ j = 1 n ∂ 2 u 2 ∂ x j 2 = 0

Portanto:

∑ j = 1 n ∂ 2 u ∂ x j 2 = 0

Isso significa que:

u = c 1 u 1 + c 2 u 2

é uma função harmônica.

Que é exatamente o que queríamos provar 😊

E aí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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