UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 56a
Sejam e funções harmônicas (i.e soluões da equação de Laplace).
Prove que também é uma função harmônica para quaisquer .
Passo 1
Fala aí galera, tudo beleza?
Nessa questão o enunciado nos fala que e são duas funções harmônicas, ou seja, satisfazem a equação de Laplace.
Isso significa que:
O que é válido tanto para como para .
A partir dessa informação, o enunciado nos pede para provar que:
também é uma função harmônica.
Pra fazer isso vamos buscar calcular as segundas derivadas parciais de , usar que e são harmônicas para mostrar que somatório dessas derivadas parciais vale zero.
Vem com a gente que vai ficar mais claro 😊
Passo 2
Bom, queremos calcular:
Vamos tomar apenas um desses termos para analisar com mais detalhes:
Como:
Temos:
Como as constantes podem sair da derivada parcial:
Beleza! Vamos então voltar pro nosso somatório:
Podemos então separar esses somatórios:
Como as constantes aparecem em todos os termos de cada um dos seus somatórios, podemos colocá-las em evidência:
Essa expressão é muuuuito interessante...
Como é uma função harmônica, vale que:
Analogamente, como é função harmônica, também vale que:
Substituindo isso, vem que:
Portanto:
Isso significa que:
é uma função harmônica.
Que é exatamente o que queríamos provar 😊
E aí, curtiram a solução? Responde Aí!
Resposta
Resposta no texto.