Utilizando o exercício anterior, para cada uma das funções F = F especificadas a seguir, determine a função harmônica fora do círculo { r >= 2 } , que coincide com a função F dada sobre a circunferência r = 2 .

a) F(θ) = a, com a constante.

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos indica uma condição de fronteira do tipo

F ( θ ) = a

essa condição de fronteira é dada em r = 2 , em que r é a circunferência de uma circunferência. A condição de fronteira deve ser usada para determinarmos uma solução harmônica como solução da equação de Laplace

U r r + 1 r U r + 1 r 2 U θ θ = 0

a solução é obtida no exercício anterior como

U ( r , θ ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n r - n c o s ( n   θ ) + B n r - n s e n ( n   θ )

Vamos aplicar a condição de fronteira e obter o nosso resultado!

Passo 2

Usando que r = 2 temos que

U ( 2 , θ ) = A 0 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n   θ ) + B n s e n ( n   θ )

temos que U ( 2 , θ ) = F ( θ ) = a , portanto

a = A 0 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n θ ) + B n s e n ( n   θ )

Note que comparando ambos os lados de nossa solução, podemos obter que os coeficientes A n , B n são todos nulos, e o único coeficiente que importa é

A 0 = a

A solução é dada então como

U ( r , θ ) = a

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

U ( r , θ ) = a

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