UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 56b
Sejam e funções harmônicas (i.e soluões da equação de Laplace).
Se é harmônica, prove que é harmônica, se e somente se, , para e constantes.
Passo 1
Oii gente, tudo bem?
Nessa questão recebemos a função:
onde é uma função harmônica. Ou seja, obedece a equação de Laplace:
Sabendo disso precisamos provar duas coisas:
- Se é harmônica, então .
- Se , então é harmônica.
Beleza?
Então, vamos usar a definição de função harmônica, bem como o fato de ser harmônica para provar essas afirmações.
Vamo nessa!
Passo 2
Vamos começar provando que:
- Se é harmônica, então .
Bom, para ser harmônica é necessário que obedeça a equação de Laplace, i.e:
Aqui estamos tomando como hipótese que é harmônica, então a equação acima é verdadeira pela nossa hipótese.
Vamos calcular essas derivadas parciais, usando a regra do produto vem que:
Derivando mais uma vez:
Muito bom!
Calculando agora a derivada com relação a , vem que:
Derivando mais uma vez:
Muito bom! Substituindo esses resultados na equação de Laplace:
Mas, olha que interessante... como é harmônica, vale que:
Assim:
Porém, como hipótese é harmônica, então essa igualdade também vale .
Se a derivada é nula, é porque a função é constante em relação a . Assim:
Mas, é harmônica. Como ela não depende de , temos:
Assim, para que a equação de Laplace seja obedecida, precisamos ter:
Novamente, como a derivada é nula, a função primitiva deve ser uma constante. Então:
Integrando mais uma vez, temos:
Que é exatamente o que queríamos provar 😊
Passo 3
Agora vamos buscar provar que:
- Se , então é harmônica.
A nossa hipótese é que:
Logo, vamos ter que:
Precisamos provar que essa função é harmônica. Para fazer isso, basta verificarmos que ela obedece à equação de Laplace. Ou seja:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Isso é uma constante em relação a . Derivando mais uma vez:
Calculando agora as derivadas com relação a :
Isso também é uma constante com relação a , derivando mais uma vez:
Portanto, de fato é verdade que:
E, concluímos que é harmônica.
É isso pessoal, como provamos tanto a ida como a volta, o nosso “Se, e somente se” está provado!
Espero que vocês tenham curtido a solução e até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.