UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 55b
Verifique que qualquer função de forma satisfaz a equação de Laplace. Aqui e são constantes arbitrárias.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Nessa questão precisamos mostrar que se temos uma função de duas variáveis dada por:
satisfaz a equação de Laplace.
Mas, pera um pouco, tá todo mundo lembrado do que é a equação de Laplace? Vamo dar uma revisada!
A equação de Laplace diz que:
Se uma função satisfaz a equação de Laplace e é contínua em uma região , ela é dita contínua.
Então beleza, vamos pegar a dada no enunciado e verificar se ela obedece a equação de Laplace.
Passo 2
Bom, como temos aqui uma função de duas variáveis, a equação de Laplace será dada por:
Vamos começar calculando a derivada parcial de com relação a .
Lembrando que nesse cálculo funciona como uma constante.
Que é uma constante para .
Derivando mais uma vez com relação a , temos:
(pois a derivada de uma constante é sempre nula).
Vamos agora derivar com relação a :
Que é uma constante para .
Daí, derivando mais uma vez, temos:
Perfeito! Ambas derivadas deram zero.
Assim, quando fazemos:
Vamos ter:
Logo, a função:
De fato, satisfaz a equação de Laplace!
E aí gente, curtiram a solução?
Responde Aí!
Resposta
Resposta no texto.