UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 11d
Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
Olá galerinha, tudo certo por aí?
Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):
Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?
Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:
Aplicar Laplace à EDO;
Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);
Decompor a expressão de em frações parciais;
Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar a partir da expressão encontrada na etapa anterior.
Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!
Vem comigo 😊
Passo 2
Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.
Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:
Massa!
Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem :
Show! Vamos então aplicar essa fórmula em e em . Temos:
Substituindo os valores iniciais:
Boa! Vamos agora para :
Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:
Precisamos calcular a transformada da função do lado direito da igualdade.
Pela linearidade:
Como:
Logo:
Substituindo na EDO, ficamos com:
Muito bom!
Passo 3
Vamos para a próxima etapa!
Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de (não se esqueçer de substituir os valores iniciais que o problema deu):
Vamos trabalhar com a nossa expressão e isolar :
Prontinho!!
Passo 4
Decompor a expressão de em frações parciais;
No passo anterior encontramos:
Para separar em frações parciais, devemos primeiro descobrir as raízes do denominador.
Por inspeção, temos e . Daí, temos:
Daí, para separar em frações parciais, vamos ter:
Assim, igualando os polinômios do numerador, temos:
Logo:
Então, temos a seguinte separação em frações parciais:
Muito bom pessoal! Já estamos acabando 😊
Passo 5
Agora vamos para a última etapa:
Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar a partir da expressão encontrada na etapa anterior.
Bom, chegamos no passo anterior que:
Das transformações conhecidas, sabemos que:
Assim, já temos que:
E:
Daí, usando essas transformações e pela linearidade da transformação de Laplace, vamos ter:
Portanto, chegamos a conclusão que:
E é isso aí galera! Espero que vocês tenham gostado da solução 😊
Até a próxima!!