UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas - Prof. Marcio Hiran Simões - Lista 1, Questão 1i
Nos problemas de até , use a definição de transformada de Laplace para calcular
Passo 1
E aí pessoinhas do nosso Brasil varonil, tudo na paz com vocês?
Nesse probleminha recebemos uma função dada por:
E, precisamos calcular a transformada de Laplace de usando a definição.
Vocês lembram a definição da transformada de Laplace?
Basicamente, ela diz que:
Massa!
Então, no caso desse item, precisaremos resolver a integral:
Perfeito! Vamo nessa pessoal!!
Passo 2
Bom, queremos resolver a seguinte integral imprópria:
Pela própria definição de integral imprópria, podemos fazer:
Massa! Então, vamos começar pela integral:
Pra calcular essa integral precisaremos usar o método de integração por partes. Segundo ele:
Tomando:
Daí:
Assim, teremos:
Puts, precisamos calcular mais uma integral usando o método de integração por partes:
Fazendo:
Daí:
Substituindo na equação principal, vamos ter:
Daí:
Passando a última equação para o outro lado da igualdade, temos:
Bom, ainda precisamos resolver a última integral ☹
Bora lá!
Passo 3
Precisamos resolver a integral:
Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes.
Assim, fazendo:
Logo:
Substituindo na equação do método, temos:
Puts, precisamos resolver outra integral! Para calcular:
Podemos usar novamente o método de integração por partes. Vamos ter:
Vamos ter:
Daí, ficamos com:
Substituindo esse resultado na primeira equação do método de integração por partes, temos:
Eita, apareceu a mesma integral nos dois lados da igualdade. Vamos então isolá-la:
Logo:
Show de bola!
Passo 4
No final do passo , chegamos que:
Daí, no passo anterior resolvemos a última integral e encontramos que:
Daí, substituindo esse resultado na equação principal:
“Logo”, temos:
Beleza! Deu um trabalho gigante mas encontramos o resultado da integral 😊
Passo 5
Por fim, vamos aplicar o limite para e analisar o resultado da nossa integral:
Colocoando os termos que não dependem de para fora do limite, e também anulando todos os termos que possuem o fator pois ele tende a zero, vamos ter:
Aeeeeee! Nossa, nunca vi tanta integral por partes assim né pessoal?! Mas saiuuu!
Muito bom, espero que vocês tenham entendido direitinho. Até a próxima 😊